Giải thích các bước giải:

a.Vì $AM, CM$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to MO\perp AC$

Vì $NB, NC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to ON\perp BC$

Ta có: $AB$ là đường kính của $(O)$

$\to \widehat{ACB}=90^o$

$\to CIOK$ là hình chữ nhật

Vì $MA, MC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to AM=MC, OM$ là phân giác $\widehat{AOC}$

Tương tự: $NB=NC, ON$ là phân giác $\widehat{BOC}$

Ta có:

$\widehat{AOC}+\widehat{BOC}=1806o$
$\to OM\perp ON$

$\to AM.BN=CM.CN=CO^2=R^2$

b.Vì $AB$ là đường kính của $(O)$

$\to \widehat{ADB}=90^o$

$\to BD\perp AN$

$\to ND.NA=NB^2=NK.NO$

$\to \dfrac{ND}{NK}=\dfrac{NO}{NA}$

$\to \Delta NDK\sim\Delta NOA(c.g.c)$

$\to \widehat{NDK}=\widehat{NOA}$

c.Vì $E$ là trung điểm $AD$

$\to OE\perp AD$

$\to \widehat{OEN}=\widehat{OCN}=\widehat{OBN}=90^o$

$\to O, E, C, N, B\in$ đường tròn đường kính $ON$

$\to \widehat{ECO}=\widehat{ENO}=90^o-\widehat{EON}$

Vì $AB$ là đường kính của $(O)\to \widehat{ADB}=90^o$

     $DF$ là đường kính của $(O)\to \widehat{DBF}=90^o$

$\to \widehat{NDB}=\widehat{NKB}=90^o$

Ta có:

$\widehat{OCF}=90^o-\dfrac12\widehat{COF}=90^o-\widehat{CBF}=\widehat{CBD}=\widehat{KBD}=\widehat{KND}=\widehat{ONA}=\widehat{OCE}$

$\to C, E, F$ thẳng hàng

Ta có:

$\widehat{CKA}=90^o-\widehat{AKO}$

$\to\widehat{CKA}=90^o-\widehat{OAN}$

$\to\widehat{CKA}=90^o-\widehat{OAE}$

$\to\widehat{CKA}=\widehat{AOE}$

$\to\widehat{CKA}=\dfrac12\widehat{AOD}$

$\to\widehat{CKA}=\dfrac12\widehat{BOF}$

$\to\widehat{CKA}=\widehat{BCF}$

$\to\widehat{CKA}=\widehat{JCK}$

$\to \widehat{JCA}=90^o-\widehat{JCK}=90^o-\widehat{JKC}=\widehat{JAC}$

$\to \Delta JCK,\Delta JAC$ cân tại $J$
$\to JC=JK, JC=JA$

$\to J\in$ trung trực $AC$

Vì $MA, MC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to MO$ là trung trực $AC$

$\to J\in OM$

$\to MO, EF, AK$ đồng quy tại $J$