Cho tam giác ABC nhọn . Đường tròn (O) đường kính BC cắt AC lần lượt tại E và D , BD cắt CE tại H , AH cắt BC tại I , tù A kẻ tiếp tuyến AM , AN của đường tròn (O) ( M,N là tiếp điểm )

Giải thích các bước giải:

a.Vì $BC$ là đường kính của $(O)\to BD\perp DC, BE\perp EC$

$\to \widehat{AEH}=\widehat{ADH}=90^o$

$\to AEHD$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

b.Vì $BD\cap CE=H\to H$ là trực tâm $\Delta ABC\to AH\perp BC=I$

Xét $\Delta BEC,\Delta BAI$ có:

chung $\hat B$

$\hat E=\hat I(=90^o)$

$\to\Delta BEC\sim\Delta BIA(g.g)$

$\to \dfrac{BE}{BI}=\dfrac{BC}{BA}$

$\to BA\cdot BE=BI\cdot BC$

Tương tự $CI\cdot CB=CD\cdot CA$

$\to BE\cdot BA+CD\cdot CA=BI\cdot BC+CI\cdot BC=BC^2$

c.Vì $AM, AN$ là tiếp tuyến của $(O)\to AM\perp OM, AN\perp ON$

$\to \widehat{AMO}=\widehat{ANO}=\widehat{AIO}=90^o\to A, M, I, O, N$ cùng thuộc một đường tròn

Xét $\Delta AME,\Delta AMB$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{AME}=\widehat{ABM}$ vì $AM$ là tiếp tuyến

$\to \Delta AME\sim\Delta ABM(g.g)$

$\to \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AE}{AM}$

$\to AM^2=AE\cdot AB$

Mà $AE\cdot AB=AI\cdot AH$

$\to AM^2=AI\cdot AH$

$\to \dfrac{AM}{AI}=\dfrac{AH}{AM}$

Do $\widehat{MAH}=\widehat{MAI}$

$\to\Delta AMH\sim\Delta AIM(c.g.c)$

$\to \widehat{AMH}=\widehat{AIM}=\widehat{ANM}=\widehat{AMN}$ vì $AM=AN$ và $AMINO$ nội tiếp

$\to M, H, N$ thẳng hàng