Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AB và AC ( với B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC

a) chứng minh rằng: 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc 1 đường tròn

b) chứng minh OA vuông góc BC và tính tích OH. OA theo R

c) Tia AO cắt đường tròn (O) tại M, N ( M nằm giữa A và N. Chứng minh AM. AN=AH.AO. Kẻ đường kính BD. Gọi E là chân đường vuông góc kẻ từ C đến BD. K là giao điểm của AC và DE. Chứng minh K là trung điểm của CE

Giải thích các bước giải:

a.Vì $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to AB\perp OB, AC\perp OC$

$\to \widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^o$

$\to A, B, C, O\in$ đường tròn đường kính $AO$

b.Vì $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to AO$ là trung trực $BC$

$\to AO\perp BC=H$ là trung điểm $BC$

Mà $AB\perp AO$

$\to OH.OA=OB^2=R^2$

c.Xét $\Delta ABM,\Delta ABN$ có:
Chung $\hat A$

$\widehat{ABM}=\widehat{ANB}$ vì $AB$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to \Delta ABM\sim\Delta ANB(g.g)$

$\to \dfrac{AB}{AN}=\dfrac{AM}{AB}$

$\to AB^2=AM.AN$

Ta có: $\Delta ABO$ vuông tại $B, BH\perp AO$

$\to AB^2=AH.AO$

$\to AH.AO=AM.AN$

Vì $BD$ là đường kính của $(O)$

$\to \widehat{BCD}=90^o$

$\to BC\perp CD$

Mà $AO\perp BC$

$\to AO//CD$

$\to AO//DF$

Vì $BD$ là đường kính của $(O)$

$\to O$ là trung điểm $BD$

$\to AO$ là đường trung bình $\Delta BDF$

$\to A$ là trung điểm $BF$

$\to Ab=AF$

Ta có: $CE//BF(\perp OB)$

$\to \dfrac{KE}{AB}=\dfrac{DK}{DA}=\dfrac{CK}{AF}$

$\to KE=KC$

$\to K$ là trung điểm $CE$