$a)$ Vì $BD$ là tia phân giác $\widehat{ABC}$

`->` $\widehat{ABD}=\widehat{CBD}$

`->` $\widehat{ABD}=\widehat{EBD}$

Xét $\triangle$ $ABD$ và $\triangle$ $EBD$ có:

$\widehat{BAD}=\widehat{BED}=90^o$

$\widehat{ABD}=\widehat{EBD}$

Chung $BD$

`->` $\triangle$ $ABD$ $=$ $\triangle$ $EBD$ (Cạnh huyền-Góc nhọn)

$b)$ Vì $\triangle$ $ABD$ $=$ $\triangle$ $EBD$

`-> AB=EB`

$c)$ Xét $\triangle$ $BCF$ có:

$CA$ là đường cao ($\widehat{BAC}=90^o$)

$FE$ là đường cao ($DE$ $\bot$ $BC=E$)

Mà $CA$ $\cap$ $EF=D$

`-> D` là trực tâm $\triangle$ $BCF$

`-> BD` là đường cao $\triangle$ $BCF$

Mà $BD$ là tia phân giác $\widehat{FBC}$

`->` $\triangle$ $BCF$ cân tại $B$

$d)$ Xét $\triangle$ $BCF$ cân tại $B$

Có $BK$ là đường trung tuyến ($K$ là trung điểm $CF$)

`-> BK` là đường cao $\triangle$ $BCF$

Mà `BD` là đường cao $\triangle$ $BCF$

`-> B, D, K` thẳng hàng