5. Trong một trò chơo điện tử, hai bạn Tit và Mit thi xem ai chạy được quãng đường xa hơn. Tít chạy với vận tốc $v_T(t)=5 \sqrt{t}(\mathrm{~km} / \mathrm{h})$, quãng đường Mít chạy được cho bởi phương trinh $s_M(t)=5 t-\frac{5}{2 \pi} \sin (2 \pi t)(\mathrm{km})$ (với $t$ là thời gian tính theo giờ). Nếu cuộc đua kết thúc khi Tit hoăc Mít chayy được 10 km đầu tiên thì khoáng cách giữa hai ban là bao nhiêu kilômét? (kết quả làm tròn đến hàng trăm).

Đáp án: $0.57$ km 

Giải thích các bước giải:

Quãng đường Tít chạy được là:

$s_T(t)=\displaystyle\int 5\sqrt{t}dt=\dfrac{10}3t^{\frac32}+C$

Khi $t=0\to s_T(t)=0$

$\to \dfrac{10}3\cdot 0^{\frac32}+C=0$

$\to C=0$

$\to s_T(t)=\dfrac{10}3t^{\frac32}$

Giải $s_T(t)=10$

$\to \dfrac{10}3t^{\frac32}=10$

$\to t=\sqrt[3]{9}$

Giải $s_M(t)=10$

$\to 5t-\dfrac{5}{2\pi}\sin(2\pi t)=10$

Ta có: $s'_M(t)=(5t-\dfrac{5}{2\pi}\sin(2\pi t))'=5-5\cos \left(2\pi t\right)\ge 0,\quad\forall t$

             $5\cdot 2-\dfrac{5}{2\pi}\sin(2\pi \cdot 2)=10$

$\to x=2$ là nghiệm duy nhất của phương trình

Vì $2<\sqrt[3]{9}$

$\to$Mít chạy được $10$ km trước Tít

Lúc đó hai bạn cách nhau số km là:

$$|5\cdot 2-\dfrac{5}{2\pi}\sin(2\pi \cdot 2)-\dfrac{10}3\cdot 2^{\frac32}|\approx 0.57(km)$$