Đáp án`+`Giải thích các bước giải:

`a)`

Vì `AH ∩ BC = D` nên `AD bot BC` hay `hat(ADB)= 90^o`

Có `CF bot AB` mà `MB //// CF` nên  `MB bot AB` hay `hat(MBA) = 90^o`

Xét`ΔABD ᔕ ΔAMB (g-g)`

Do đó `hat(BMA) = hat(DBA)`

Suy ra `ΔABD ᔕ ΔBDM (g-g)`

Từ đó `BD^2 = AD * DM`

`b)`

Xét `ΔAFC ᔕ ΔAEB (g-g)` (*) nên `(AF)/(AE) = (AC)/(AB)`

Suy ra `ΔAEF ᔕ ΔABC (c-g-c)`

nên `hat(AEF) = hat(ABC)` hay `hat(AEK) = hat(ABD) (1)`

Mà  `hat(ABD) = hat(AHF) (2)` do `ΔAHF ᔕ ΔABD (g-g)`

Từ `(1),(2)` suy ra `hat(AHF) = hat(AEK)`

Lại có `hat(AFH) = hat(AKE)`

Vì vậy `ΔAEK ᔕ ΔAHF (g-g)`

`c)`

Vì `ΔAEB` vuông tại `E` nên theo định lý Pythagore ta có:

`AE^2 + BE^2 = AB^2`

Suy ra `((AE)/(AB))^2 + ((BE)/(AB))^2=1`

Mà `(AE)/(AB) = (AF)/(AC) ; (BE)/(AB) = (CF)/(AC)` (Theo (*))

Nên `(AE)/(AB) *  (AF)/(AC) + (BE)/(AB) * (CF)/(AC)=1`

Vậy `AB*AC = BE*CF + AE*AF`