Giải thích các bước giải:

1.Ta có:

$\widehat{BAH}=90^o-\widehat{HAC}=\hat C$

$AD$ là phân giác $\widehat{HAC}\to \widehat{DAH}=\widehat{DAC}$

$\to \widehat{BAD}=\widehat{BAH}+\widehat{HAD}=\hat C+\widehat{DAC}=\widehat{BDA}$

$\to \Delta ABD$ cân tại $B$

$\to BA=BD$

2.Xét $\Delta ADH,Delta ADI$ có:

$\widehat{AHD}=\widehat{AID}(=90^o)$

Chung $AD$

$\widehat{DAH}=\widehat{DAI}$

$\to \Delta ADH=\Delta ADI$ (cạnh huyền-góc nhọn)

$\to DH=DI$

Mà $AE=DH$

$\to AE=DI$

Xét $\Delta ADI,\Delta AIE$ có;

Chung $AI$

$\widehat{AID}=\widehat{IAE}(=90^o)$

$DI=AE$

$\to \Delta AID=\Delta IAE(c.g.c)$

$\to \widehat{IAD}=\widehat{AIE}$

$\to AD//IE$

b.Ta có: $AH=AI, DH=DI$

$\to A, D\in$ trung trực $HI$

$\to AD$ là trung trực $HI$

Vì $F\in AD$

$\to FH=FI$

$\to \Delta FHI$ cân tại $F$

Ta có: $AD$ là trung trực $HI\to AD\perp HI$

Mà $AD//EI$

$\to EI\perp HI$

$\to \widehat{FIE}=90^o-\widehat{FIH}=90^o-\widehat{FHI}=\widehat{FEI}$

$\to \Delta FEI$ cân tại $F$

$\to FE=FI$

Mà $FH=FI$

$\to FE=FH$

$\to F$ là trung điểm $HE$