Ta có: `x^2-2(m+2)x+m^2+m^3=0`

Có: `\Delta'=[-(m+2)]^2-(m^2+m+3)`

`=m^2+4m+4-m^2-m-3`

`=3m+1`

Để phương trình có `2` nghiệm thì `\Delta'>=0`

`-> 3m+1>=0 -> 3m> -1 -> m> (-1)/(3)`

Theo Viét có: $\begin{cases} x_1+x_2=-[-2(m+2)]=2m+4\\x_1x_2=m^2+m+3 \end{cases}$

Lại có: `(x_1)/(x_2)+(x_2)/(x_1)=4`

`-> (x_1^2+x_2^2)/(x_1x_2)=4`

`-> x_1^2+x_2^2=4x_1x_2`

`-> (x_1+x_2)^2-6x_1x_2=0`

`-> (2m+4)^2-6(m^2+m+3)=0`

`-> 4m^2+16m+16-6m^2-6m-18=0`

`-> -2m^2+10m-2=0`

`-> m^2-5m+1=0`

Cps: $\Delta=(-5)^2-4.1=21>0$

`->` $\sqrt{\Delta}=\sqrt{21}$

`-> m=(5-\sqrt{21})/(2)` (thoả mãn `m>(-1)/(3)`)

`m=(5+\sqrt{21})/(2)` (thoả mãn `m>(-1)/(3)`)

Vậy `m` $\in$ `{(5-\sqrt{21})/(2); (5+\sqrt{21})/(2)}`