Giải thích các bước giải:

a.Vì $\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o$

$\to B, C, E, F\in$ đường tròn đường kính $BC$

b.Vì $B, C, E, F$ nội tiếp
$\to \widehat{IBF}=\widehat{FEC}=\widehat{IEC}$

$\to \Delta IBF\sim\Delta IEC(g.g)$

$\to \dfrac{IB}{IE}=\dfrac{IF}{IC}$

$\to IE.IF=IB.CI$

c.Ta có: $\widehat{AFC}=\widehat{ADC}=90^o$

$\to ACDF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AC$

Vì $EF//MN$

$\to \widehat{DMF}=\widehat{AFE}=\widehat{BCE}=\widehat{ACD}=\widehat{BFD}$

$\to \Delta BDF$ cân tại $D$

$\to DM=DF$

Tương tự chứng minh được $DN=DE$

$\to DM.DN=DF.DE$

Ta có: $\Delta DBH\sim\Delta DAC(g.g)$

$\to \dfrac{BD}{DA}=\dfrac{DH}{DC}$

$\to DH.DA=DB.DC$

Ta có: $\widehat{DFB}=\widehat{AFE}=\widehat{IFB}$

$\to FB$ là phân giác $\widehat{IFD}$

Mà $FB\perp FC$  

$\to FC$ là phân giác ngoài $\Delta FID$

$\to \dfrac{BI}{BD}=\dfrac{CI}{CD}$

Ta có; $\Delta BEC$ vuông tại $E, J$ là trung điểm $BC$

$\to JE=JB=JC=\dfrac12BC$

$\to\Delta JBE$ cân tại $J$

$\to \widehat{BJE}=2\widehat{ECB}=\widehat{AFE}+\widehat{DFB}=180^o-\widehat{EFD}=180^o-\widehat{DFE}=\widehat{IFD}$

$\to \Delta IFD\sim\Delta IJE(g.g)$

$\to \dfrac{IF}{IJ}=\dfrac{ID}{IE}$

Vì $\widehat{ADC}=\widehat{AFC}=90^o$

$\to ACDF$ nội tiếp

$\to \widehat{BDF}=\widehat{FAC}=\widehat{BAE}=\widehat{EDC}$

     $\widehat{DFB}=\hat C$

$\to \Delta DFB\sim\Delta DCE(g.g)$

$\to \dfrac{DF}{DC}=\dfrac{DB}{DE}$

$\to DB.DC=DE.DF$

Mà $\Delta DBH\sim\Delta DAC(g.g)$

$\to DH.DA=DB.DC$

$\to DE.DF=DB.DC$

Ta có:

$\widehat{EJD}=\widehat{EJB}=2\widehat{ECJ}=2\widehat{ECB}=\widehat{AFE}+\widehat{BFD}=180^o-\widehat{DFE}$

$\to EFDJ$ nội tiếp

$\to \widehat{JDE}=\widehat{JFE}=\widehat{JEF}=\widehat{JEI}$

$\to \Delta JDE\sim\Delta JEI(g.g)$

$\to \dfrac{JD}{JE}=\dfrac{JE}{JI}$

$\to JE^2=JD.JI$

$\to JE^2=JD.IJ$

$\to JB^2=DJ(DI+JD)$

$\to JB^2=DI.DJ+JD^2$

$\to JB^2-JD^2=DI.DJ$

$\to (JB-JD)(JB+JD)=DI.DJ$

$\to (JB-JD)(JC+JD)=DI.DJ$

$\to DB.DC=DI.DJ$

$\to DM.DN=DI.DJ$

$\to \dfrac{DM}{DI}=\dfrac{DJ}{DN}$

$\to \Delta DIM\sim\Delta DNJ(c.g.c)$

$\to \widehat{DIM}=\widehat{DNJ}$

$\to\widehat{MIJ}=\widehat{MNJ}$