Giải thích các bước giải:

a.Ta có:$\widehat{BEH}=\widehat{BDH}=90^o$

$\to BEHD$ nội tiếp đường tròn đường kính $HB$

b.Ta có: $\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o$

$\to BCEF$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

$\to \widehat{CEN}=\widehat{CEF}=\widehat{CBF}=90^o-\widehat{FCB}=90^o-\widehat{ACD}=\widehat{CAD}=\widehat{CAK}=\widehat{CIK}=\widehat{CIE}$

$\to \Delta CEN\sim\Delta CIE(g.g)$

$\to \dfrac{CE}{CI}=\dfrac{CN}{CE}$

$\to CE^2=CN.CI$

c.Ta có: $\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^o$

$\to A, E, H, F\in$ đường tròn đường kính $AH$

$\to $Tâm $(AEF)$ là tâm $(AEHF)$ là trung điểm $AH$

$\to P$ là trung điểm $AH$

Ta có: $OM\perp BC$

$\to M$ là trung điểm $BC$

Kẻ $EG\perp AC$

$\to CG.CA=CE^2=CN.CI$

$\to \dfrac{CG}{CN}=\dfrac{CI}{CA}$

$\to \Delta CGN\sim\Delta CAI(c.g.c)$

$\to \widehat{CGN}=\widehat{CIA}=\widehat{CBA}=\widehat{AFE}=\widehat{GFN}$

$\to \widehat{NGE}=90^o-\widehat{NGF}=90^o-\widehat{NFG}=\widehat{NEG}$

$\to \Delta NGF,\Delta NGE$ cân tại $N$

$\to NG=NF, NG=NE$

$\to NE=NF$

$\to N$ là trung điểm $EF$

Ta có: $\Delta BEC,\Delta BFC$ vuông tại $E, F$ và $M$ là trung điểm $BC$

$\to ME=MB=MC=\dfrac12BC=MF$

$\to ME=MF$

Mà $NE=NF, PE=PF$

$\to P, N, M\in$ trung trực $EF$

$\to P, N, M$ thẳng hàng