Đáp án:

 `S_{MNPQ}` lớn nhất `=32\sqrt{3}` khi `x=8`

Giải thích các bước giải:

 Ta có: `(AQ)/(AB) = (QP)/(BC) = (AP)/(AC) `

`=> (AQ)/16 = x/16 = (AP)/16`

`=> AQ = AP = x(cm)`

Khi đó: `BM = NC = (BC-MN)/2 = (16-x)/2(cm)`

`BQ = AB - AQ = 16-x(cm)`

Theo định lý Pytago trong tam giác `BQM` thì:

`QM^2  + BM^2 = BQ^2`

`=> QM = \sqrt{3}/2 . (16-x) (cm)`

Diện tích của `QPMN` là:

`QM.QP = \sqrt{3}/2 . (16-x) . x`

` <= \sqrt{3}/2. (16-x+x)^2/4`

` <= \sqrt{3}/2 . 16^2/4 = 32\sqrt{3}(cm^2)`

Dấu "=" xảy ra khi `16-x = x => x = 8`

Vậy diện tích hình chữ nhật `MNPQ` lớn nhất `=32\sqrt{3}` khi `x=8`