$a)$ Ta có: $AK=KI=IH$

`->` `(AK)/(AH)=(1)/(3); (AI)/(IH)=(2)/(3)`

Vì $MN$ $\parallel$ $AB$

`->` $NK$ $\parallel$ $BH$

`->` `(AN)/(AB)=(AK)/(AH)=(1)/(3)` $(1)$

CMTT $(1)$ ta được: `(MN)/(BC)=(AN)/(AB)=(1)/(3)`

`->` `MN=(1)/(3)BC=(1)/(3).15=5` $(cm)$ $(2)$

Làm tương tự $(2)$ ta có: `(EF)/(BC)=(2)/(3)`

`->` `EF=(2)/(3)BC=(2)/(3).15=10` $(cm)$

$b)$ Ta có: $S_{ABC}=270$ $(cm^2)$

`->` `(1)/(2).AH.BC=270`

`->` `(1)/(2).3KI.15=270`

`->` `KI=12` $(cm)$

Vì $MN$ $\parallel$ $EF$ $\parallel$ $BC$

`->` $MNEF$ là hình thang

`->` $S_{MNEF}=$ `(1)/(2)KI.(MN+EF)=(1)/(2).12.(5+10)=90` $(cm^2)$