$a)$ Xét $(O)$ có $\widehat{ACB}$ chắn nửa đường tròn

$\rightarrow$ $\widehat{ACB}=90^o$

$\rightarrow$ $\widehat{ICB}=90^o$

Vì $IH$ $\bot$ $AB=H$

$\rightarrow$ $\widehat{IHB}=90^o$

$\rightarrow$ $\widehat{ICB}+\widehat{IHB}=180^o$

$\rightarrow$ $BHIC$ nội tiếp

$b)$ Xét $\triangle$ $FAB$ có $AC; FH$ là các đường cao

Mà $AC$ $\cap$ $FH=I$

$\rightarrow$ $BI$ $\bot$ $AE$ $(1)$

Xét $(O)$ có $\widehat{AFB}$ chắn nửa đường tròn

$\rightarrow$ $\widehat{AFB}=90^o$

$\rightarrow$ $BF$ $\bot$ $AE=F$ $(2)$

Từ $(1), (2)$ $\rightarrow$ $B, I, F$ thẳng hàng

Xét $\triangle$ $IFA$ và $\triangle$ $ICB$ có:

$\widehat{IFA}=\widehat{ICB}=90^o; \widehat{FIA}=\widehat{CIB}$

$\rightarrow$ $\triangle$ $IFA$ $\backsim$ $\triangle$ $ICB$

$\rightarrow$ `(IF)/(IC)=(IA)/(IB)`

$\rightarrow$ `IF.IB=IA.IC`

$c)$ Vì $BHIC$ nội tiếp

$\rightarrow$ $\widehat{ICH}=\widehat{IBH}$

$\rightarrow$ $\widehat{ACH}=\widehat{FBA}$

Mà $\widehat{FCA}=\widehat{FBA}$ (cùng chắn $\mathop{FA}\limits^{\displaystyle\frown}$)

$\rightarrow$ $\widehat{ICH}=\widehat{ACH}$

$\rightarrow$ $CA$ là tia phân giác $\widehat{FCH}$