$a)$ Vì $MA$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\rightarrow$ $\widehat{MAO}=90^o$

CMTT ta được: $\widehat{MBO}=90^o$

$\rightarrow$ $\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=180^o$

$\rightarrow$ $MAOB$ nội tiếp

$\rightarrow$ $M, A, O, B$ cùng thuộc một đường tròn

$b)$ Vì $MA, MB$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\rightarrow$ $MO$ là đường trung trực $AB$

$\rightarrow$ $MO$ $\bot$ $AB=H$

$\rightarrow$ $\widehat{OHB}=90^o$

Xét $(O)$ có $\widehat{ABD}$ chắn nửa đường tròn

$\rightarrow$ $\widehat{ABD}=90^o$

$\rightarrow$ $\widehat{HBI}=90^o$

Xét $(O)$ có $I$ là trung điểm dây $BD$ không đi qua tâm

$\rightarrow$ $OI$ $\bot$ $BD=I$

$\rightarrow$ $\widehat{OIB}=90^o$

$\rightarrow$ $\widehat{OHB}=\widehat{HBI}=\widehat{OIB}=90^o$

$\rightarrow$ $OHBI$ là hình chữ nhật

Lại có: $OB=OD=R$

$\rightarrow$ $\triangle$ $OBD$ cân tại $O$

Mà $OI$ là trung tuyến

$\rightarrow$ $OI$ là đường trung trực $BD$

$\rightarrow$ $OK$ là đường trung trực $BD$

$\rightarrow$ $B$ đối xứng $D$ qua $OK$

$\rightarrow$ $\widehat{KDO}=\widehat{KBO}=90^o$

$\rightarrow$ $KD$ là tiếp tuyến của $(O)$

$c)$ Gọi $MD$ $\cap$ $OQ=C$

Xét $(O)$ có $KD$ là tiếp tuyến

$\rightarrow$ $\widehat{KDB}=\widehat{BAD}=\widehat{OAB}$ $(1)$

Ta có: $\widehat{MAO}+\widehat{MCO}=180^o$

$\rightarrow$ $MAOC$ nội tiếp

$\rightarrow$ $M, A, C, O$ cùng thuộc một đường tròn

$\rightarrow$ $M, A, B, O, C$ cùng thuộc một

$\rightarrow$ $AOBC$ nội tiếp

$\rightarrow$ $\widehat{OAB}+\widehat{OCB}=180^o$

Mà $\widehat{BCQ}+\widehat{OCB}=180^o$

$\rightarrow$ $\widehat{OAB}=\widehat{BCQ}$

Lại có: $\widehat{QBD}=\widehat{QCD}=90^o$ cùng nhìn $QD$

$\rightarrow$ $QBCD$ nội tiếp

$\rightarrow$ $\widehat{QDB}=\widehat{BCQ}$

$\rightarrow$ $\widehat{OAB}=\widehat{QDB}$ $(2)$

Từ $(1), (2)$ $\rightarrow$ $\widehat{KDB}=\widehat{QDB}$

$\rightarrow$ $D, K, Q$ thẳng hàng

Có: $OI$ $\bot$ $BD=I$ và $AB$ $\bot$ $BD=B$

$\rightarrow$ $OI$ $\parallel$ $AB$

$\rightarrow$ $IK$ $\parallel$ $BQ$

$\rightarrow$ `(DI)/(IB)=(DK)/(KQ)`

Mà `BI=IB`

$\rightarrow$ `DK=KQ`

$\rightarrow$ $K$ là trung điểm $DQ$