Đáp án+Giải thích các bước giải:

 `x^2` `+` `2y^2` `+` `2xy` `+` `y` `=` `2` 

⇔ `x^2` `+` `2xy` `+` `y^2` `+` `y^2` `+` `y` `=` `2` 

⇔ `(x+y)^2` + `y^2` `+` `y` `=` `2` 

⇔ `4(x+y)^2`  `+` `4y^2` `+` `4y` `=` `8` 

⇔ `(2x+2y)^2` `+` `4y^2` `+` `4y` `+` `1` `=` `9` 

⇔ `(2x+2y)^2`  `+` `(2y+1)^2` `=` `9` Mà `(2x+2y)^2`≥ 0 với ∀x,y∈Z

⇒ `(2y+1)^2` ≤ 9

Vì y∈ Z nên ⇒ 2y+1 ∈Z Mà 2y+1 lẻ nên 

⇒ `(2y+1)^2`  là số chính phương lẻ

Mà  `(2y+1)^2` ≤ 9 nên ⇒ `(2y+1)^2` ∈ {1;9}

Nếu  `(2y+1)^2` `=` `1` 

⇒ `(2x+2y)^2`  `=` `8` Mà 8 không là số chính phương

⇒ loại 

Nếu `(2y+1)^2` `=` `9`

⇒  `(2x+2y)^2`  `=` `0` 

⇒ `x` `+` `y` `=` `0` 

⇒ `x` `=` `-y` 

Vì `(2y+1)^2` `=` `9` nên 

⇒$\left[\begin{matrix} 2y+1=3\\2y+1=-3\end{matrix}\right.$

⇒$\left[\begin{matrix} y=1\\y=-2\end{matrix}\right.$ Mà `x` `=` `-y` nên 

⇒ $\left[\begin{matrix} y=1,x=-1\\y=-2,x=2\end{matrix}\right.$

Vậy phương trình có cặp nghiệm nguyên (x;y) là (-1;1) ; (2;-2)