Giải thích các bước giải:

a.Vì $BC$ là đường kính của $(O)$

$\to \widehat{BNC}=\widehat{BMC}=90^o$

$\to BN\perp AC, CM\perp AB$

Mà $BN\cap CM=I$

$\to I$ là trực tâm $\Delta ABC$

$\to AI\perp BC$

Ta có: 

$\widehat{ANI}=\widehat{AMI}=90^o$

$\to AMIN$ nội tiếp đường tròn đường kính $AI$

b. Vì $D$ nằm chính giữa cung $MN$

$\to DM=DN$

$\to \widehat{DCM}=\widehat{DBN}$

$\to \widehat{DCP}=\widehat{DBQ}$

$\to \Delta DCP\sim\Delta DBQ(g.g)$

$\to \dfrac{DP}{DQ}=\dfrac{CD}{BD}$

$\to DQ\cdot CD=DP\cdot BD$

Ta có:

$\widehat{IPB}=180^o-\widehat{PIB}-\widehat{DBN}=180^o-\widehat{QIC}-\widehat{DCM}=\widehat{IQC}$

$\to 180^o-\widehat{IPB}=180^o-\widehat{IQC}$

$\to \widehat{DPI}=\widehat{DQI}$

c.Ta có:

$\widehat{MON}=2\widehat{MCN}=2(90^o-\hat A)=60^o$

$\to \Delta OMN$ đều

$\to MN=OM=R$

Gọi $E$ là trung điểm $AI$

Vì $AMIN$  nội tiếp đường tròn đường kính $AI$

$\to E$ là tâm $(AMIN)$

$\to (E)\cap (O)=MN$

$\to OE\perp MN$

Mà $D$ nằm chính giữa cung $MN$

$\to OD\perp MN$

$\to E, D, O$ thẳng hàng

Ta có:

$\widehat{EMC}=\widehat{EMI}=\widehat{EIM}=\widehat{AIM}=\widehat{ANM}=\widehat{MBC}$

$\to EM$ là tiếp tuyến của $(O)$

Tương tự $EN$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to EO$ là phân giác $\widehat{MEN}$

$\to \widehat{OEM}=\widehat{OEN}=\dfrac12\widehat{MEN}=\widehat{MAN}=60^o$

$\to \tan\widehat{MEO}=\dfrac{OM}{EM}$

$\to \tan(60^o)=\dfrac{R}{EM}$

$\to EM=\dfrac{R}{\sqrt3}$

$\to $Bán kính $(IMN)=\dfrac{R}{\sqrt3}$

$\to P_{(IMN)}=2\cdot \dfrac{R}{\sqrt3}\cdot \pi=\dfrac{2R\pi}{\sqrt3}$