Cách 1:

Ta có: `10a^2+10b^2+c^2-4`

`=10a^2+10b^2+c^2-4(ab+bc+ca)`

`=10a^2+10b^2+c^2-4ab-4bc-4ca`

`=(2a^2-4ab+2b^2)+(8b^2-4bc+c^2/2)+(8a^2-4ca+c^2/2)`

`=2(a^2-2ab+b^2)+1/2(16b^2-8bc+c^2)+1/2(16a^2-8ca+c^2)`

`=2(a-b)^2+1/2(4b-c)^2+1/2(4a-c)^2>=0` với mọi `a,b,c`

Nên: `10a^2+10b^2+c^2-4>=0`

Suy ra: `10a^2+10b^2+c^2>=4` (đpcm)

Dấu "`=`" xảy ra khi:

`{(a-b=0),(4b-c=0),(4a-c=0),(ab+bc+ca=1):}`

`{(a=b),(b=c/4),(a=c/4),(ab+bc+ca=1):}`

`{(a=b=c/4),(ab+bc+ca=1):}`

`a=b=1/3,c=4/3`

~~~~~

Cách 2:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:

`2(a^2+b^2)>=2*2\sqrt{a^2*b^2}=4ab`

`8b^2+c^2/2>=2\sqrt{8b^2*c^2/2}=4bc`

`8a^2+c^2/2>=2\sqrt{8a^2*c^2/2}=4ca`

Cộng các bất đẳng thức cùng chiều trên ta được:

`2(a^2+b^2)+8b^2+c^2/2+8a^2+c^2/2>=4ab+4bc+4ca`

`2a^2+2b^2+8b^2+c^2/2+8a^2+c^2/2>=4(ab+bc+ca)`

`a^2+b^2+c^2>=4*1=4`

Dấu "`=`" xảy ra khi:

`{(a^2=b^2),(8b^2=c^2/2),(8a^2=c^2/2),(a text{,} b text{,} c>=0),(ab+bc+ca=1):}`

`a=b=1/3,c=4/3`