$1.$ 

Đặt $\dfrac{(x^2y-1)^2+9}{2y^2}=p^2(p$ là số nguyên tố$)$

$\to y|(x^2y -1)^2+9\to y|10 \to y\in \{1;2;5;10\}$

Hơn nữa: Nếu $y$ chẵn thì $(x^2y-1)^2+9\vdots 4 \to 10\vdots 4$(Vô lý)

$\to y$ lẻ $\to y\in\{1;5\}$

Ta xét các trường hợp sau:

$\bullet$ $y=1\to \dfrac{(x^2-1)^2+9}{2}=p^2\to (x^2-1)^2=2p^2-9$

Nếu $p\ne 3\to (x^2-1)^2\equiv 2p^2\equiv 2\pmod{3}$(Vô lý) 

$\to p=3\to x=2$

$\bullet$ $y=5\to (5x^2-1)^2+9=50p^2$

Nếu $p\ne 3 \to (5x^2-1)^2+9\equiv (5x^2-1)^2\equiv 0;1;4;7\pmod{9}$

Mà $50p^2\equiv 2;5;8\pmod{9}$ nên có vô lý.

Thử lại ta thấy $(x;y)=(2;1)$ thỏa mãn bài.

Vậy $(x;y)=(2;1)$

$2.$

$a,$ Ta có nhận xét: $2025=121+123+...+149\to 2025$ là một số có tính chất $T$

$b,$

$\bullet$ Với $n$ chẵn mà $n$ có tính chất $T$ nên $k$ chẵn.

$\to$Sẽ có $k$ cặp số lẻ liên tiếp được viết dưới dạng tổng $n\to n\vdots 4$

Đảo lại đến $n\vdots 4\to n=\dfrac{n}{2}+1+\dfrac{n}{2}-1\to n$ có tính chất $T$

$\bullet$ Với $n$ lẻ mà $n$ có tính chất $T\to k$ lẻ.

Do $n$ có tính chất $T$ nên viết $n$ dưới dạng:

$$n=(2t+1)+(2t+3)+...+(2t+2k-1)(t\in\mathbb{Z})$$

$\to n=\dfrac{2t+1+2t+2k-1}{2}=k(2t+k)$

Mà $k\ge 3,2t+k>3$ nên $n$ là hợp số lẻ.

Đảo lại nếu $n$ là hợp số lẻ, viết $n=a.b(3\le a\le b, a,b\in\mathbb{N})$

Khi đó chọn $(k,t)=\left(a,\dfrac{b-a}{2}\right)\to n$ có tính chất $T$

Kết luận: Các số có tính chất $T$ thỏa mãn là $4|n$ và $n$ là hợp số lẻ.