Cho `ΔABC` vuông tại `A`, trung tuyến `AD`

Trên tia đối của `DA` lấy `E` sao cho `AD = DE`

Xét `ΔBDA` và `ΔEDC` có :

`AD = DE` (gt)

`\hat{BDA} = \hat{EDC}` ( `2` góc đối đỉnh )

`BD = DC` ( `AD` là trung tuyến ứng với `BC` nên `D` là trung điểm của `BC` )

`=> ΔBDA = ΔEDC (c-g-c)`

`=> AB = CE` ( `2` cạnh tương ứng )

Xét `ΔBDE` và `ΔADC` có :

`AD = DE` (gt)

`\hat{BDE} = \hat{ADC}` ( `2` góc đối đỉnh )

`BD = DC` ( `AD` là trung tuyến ứng với `BC` nên `D` là trung điểm của `BC` )

`=> ΔBDE = ΔADC (c-g-c)`

`=> BE = AC` ( `2` cạnh tương ứng )

Xét tứ giác `ABCE` có :

`AB = CE`

`BE = AC`

`=>` Tứ giác `ABCE` là hình bình hành ( tứ giác có `2` cặp cạnh đối bằng nhau )

Mà `\hat{BAC} = 90^@`

`=>` Tứ giác `ABCE` là hình chữ nhật ( hình bình hành có `1` góc vuông )

`=> BC = AE`

`=> BC = 2 . AD`

`=> AD = 1/2 BC`

Vậy trong một tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền

`---`

Cho `ΔABC`, trung tuyến `AD`

Trên tia đối của `DA` lấy `E` sao cho `AD = DE`

Xét `ΔBDA` và `ΔEDC` có :

`AD = DE` (gt)

`\hat{BDA} = \hat{EDC}` ( `2` góc đối đỉnh )

`BD = DC` ( `AD` là trung tuyến ứng với `BC` nên `D` là trung điểm của `BC` )

`=> ΔBDA = ΔEDC (c-g-c)`

`=> AB = CE` ( `2` cạnh tương ứng )

Xét `ΔBDE` và `ΔADC` có :

`AD = DE` (gt)

`\hat{BDE} = \hat{ADC}` ( `2` góc đối đỉnh )

`BD = DC` ( `AD` là trung tuyến ứng với `BC` nên `D` là trung điểm của `BC` )

`=> ΔBDE = ΔADC (c-g-c)`

`=> BE = AC` ( `2` cạnh tương ứng )

Xét tứ giác `ABCE` có :

`AB = CE`

`BE = AC`

`=>` Tứ giác `ABCE` là hình bình hành ( tứ giác có `2` cặp cạnh đối bằng nhau )

Có : `AD = 1/2 BC`

`=> 2AD = BC`

`=> AE = BD`

`=>` Tứ giác `ABCE` là hình chữ nhật ( hình bình hành có `2` đường chéo bằng nhau )

`=> ΔABC` vuông

`=>` Trong một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông

`---`

Có : `G` là trọng tâm trong `ΔABC`

`=>` `G` là giao điểm `3` đường trung tuyến

Kéo dài `AG` cắt `BC` tại `D`

Ta có : `AD` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

`=> AD = 1/2 BC`

`=> AD = `1/2 . 4 = 2(cm)`

Có : `AG = 2/3 AD`

`=> AG = 2/3 . 2 = 4/3(cm)`

Vậy `AG = 4/3cm`