(x²+1)(y²+2)(z²+8)=32xyz

Tìm x,y,z với x,y,z > 0

Không dùng bđt côsi nhé (AM-GM)

Áp dụng BĐT Cô-si cho $2$ số dương là $x^2$ và $1$ ta được:

$x^2+1=x^2+1^2$ $\ge$ $2x.1=2x$ $(x>0)$

CMTT ta được: 

$y^2+2=y^2+(\sqrt{2})^2$ $\ge$ $2y.\sqrt{2}=2\sqrt{2}y$ $(y>0)$

$z^2+8=z^2+(2\sqrt{2})^2$ $\ge$ $2z.2\sqrt{2}=4\sqrt{2}z$ $(z>0)$

$\Rightarrow$ $(x^2+1)(y^2+2)(z^2+8)$ $\ge$ $2x.2\sqrt{2}y.4\sqrt{2}z=32xyz$

Dấu $=$ xảy ra khi $\begin{cases} x=1\\y=\sqrt{2}\\z=2\sqrt{2} \end{cases}$ (thoả mãn $x; y; z>0$)

Vậy $\begin{cases} x=1\\y=\sqrt{2}\\z=2\sqrt{2} \end{cases}$