Đáp án + Giải thích các bước giải:

KMTTQ, giả sử $a\geq b\geq c$, khi đó dễ thấy: $$\dfrac{a}{b+c-a}\geq\dfrac{b}{c+a-b}\geq\dfrac{c}{a+b-c}$$

Từ đó suy ra $\left(a^{2025},b^{2025},c^{2025}\right)$ và $\left(\dfrac{a}{b+c-a},\dfrac{b}{c+a-b},\dfrac{c}{a+b-c}\right)$ là hai dãy đơn điệu cùng chiều.

Theo bất đẳng thức Chebyshev, ta có: $$\dfrac{a^{2026}}{b+c-a}+\dfrac{b^{2026}}{c+a-b}+\dfrac{c^{2026}}{a+b-c}\geq\dfrac{1}{3}\left(a^{2025}+b^{2025}+c^{2025}\right)\left(\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{c+a-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\right)$$

Mặt khác, dễ thấy theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz kết hợp với phương pháp biến đổi tương đương ta được: $$\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{c+a-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\geq3$$

Do đó kết luận: Vậy bất đẳng thức được chứng minh.