$a)$ $\triangle$ $ABC$ có $BD$ là đường cao

$\rightarrow$ $\widehat{BDC}=90^o$

CMTT ta được: $\widehat{BEC}=90^o$

Mà chúng cùng nhìn $BC$

$\rightarrow$ $BEDC$ nội tiếp

$\rightarrow$ $B, E, D, C$ cùng thuộC một đường tròn có tâm $I$ là trung điểm $BC$

$b)$ Xét $\triangle$ $ADB$ và $\triangle$ $AEC$ có:

$\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90^o; \widehat{DEA}$ chung

$\rightarrow$ $\triangle$ $ADB$ $\backsim$ $\triangle$ $AEC$ $(G-G)$

$\rightarrow$ `(AD)/(AE)=(AB)/(AC)`

$\rightarrow$ `AE.AB=AD.AC`

Xét $\triangle$ $AED$ và $\triangle$ $ACB$ có:

`(AD)/(AE)=(AB)/(AC)`; $\widehat{DEA}$ chung

$\rightarrow$ $\triangle$ $AED$ $\backsim$ $\triangle$ $ACB$ $(G-G)$

$\rightarrow$ $\widehat{ADE}=\widehat{ABC}$