$x(x^2+x+1)=4^y-1\\\Leftrightarrow x^3+x^2+x+1=4^y\\\Leftrightarrow (x^2+1)(x+1)=4^y(*)$

Nếu $y<0$ thì $4^y\not\in\mathbb{Z}$ (Vô lý)

$\Rightarrow y\ge 0$

Kéo theo: $4^y>0\Rightarrow (x^2+1)(x+1)>0\Rightarrow x+1>0\Rightarrow x\ge 0$

Như vậy ta xét bài toán đối với $x,y\ge 0$

$\bullet$ $x=0\Rightarrow y=0$

$\bullet$ $x\ge 1\Rightarrow y\ge 1$

Từ $(*)\Rightarrow (x^2+1)(x+1)$ chẵn.

Nếu $x$ chẵn thì $x+1$ lẻ và $x^2+1$ lẻ (Điều này vô lý)

$\Rightarrow x$ lẻ. Đặt $x=2t+1(t\ge 0,t\in\mathbb{N})$

Từ $(*)\Rightarrow (4t^2+4t+2)(2t+2)=4^y$

$\Leftrightarrow (2t^2+2t+1)(t+1)=4^{y-1}$

$\Rightarrow 4^{y-1}\vdots (2t^2+2t+1)$

Do $2t^2+2t+1$ là số lẻ và $4^{y-1}$ có duy nhất một ước lẻ là $1$

$\Rightarrow 2t^2+2t=1\Rightarrow t=0$

Do đó: $x=1\Rightarrow y=1$

Thử lại 2 cặp $(0,0); (1,1)$ thoả mãn.