Gửi một cách khá may mắn, may mắn là vì mình thử so sánh $\sum x$ với $\sum xy$ thì lại chứng minh được BĐT.

Lời giải:

Theo giả thiết thì: $xyz\sum x=\sum xy$

Hơn nữa: $\sum x=\sum \dfrac{1}{x}\ge \dfrac{9}{\sum x}\to \sum x\ge 3$

Nếu $\sum x\ge \sum xy$ thì:

$\sum 2 \sqrt{xy+3}\le \sum \left(\dfrac{xy+3}{2}+2\right)=\dfrac{\sum xy+21}{2}\le \dfrac{\sum x+21}{2}\le 3\sum x+3$

Nếu $\sum x\le \sum xy$ 

Theo Bunhia ta có:

$(\sum \sqrt{xy+3})^2\le 3\sum (xy+3)=3\sum xy+27$

Ta cần chỉ ra: $3\sum xy+27\le \dfrac{9(\sum x+1)^2}{4}(*)$

Thật vậy $(*)$ sẽ tương đương với:

$$3(\sum{x})^2+6\ge  4\sum{xy}+36$$

Hay:

$$3\sum{x^2}+6\sum{x}+2\sum{xy}\ge 33(**)$$

$(**)$ luôn đúng bởi vì ta có:

$3\sum x^2+2\sum xy+6\sum x \geq 5\sum{xy}+6\sum{x}\geq 11\sum{x}\geq 33$

Kết thúc chứng minh.