$a)$ Tứ giác $BFCH$ là hình bình hành. Thật vậy:

Xét $(O)$ có $\widehat{ACF}$ là góc nội tiếp chắn $\mathop{AF}\limits^{\displaystyle\frown}$

Mà $AF$ là đường kính (gt)

$\Rightarrow$ $\widehat{ACF}=90^o$ (tính chất)

$\Rightarrow$ $FC$ $\bot$ $AC$ (tính chất góc vuông)

Mà $BH$ $\bot$ $AC$ ($BD$ là đường cao)

$\Rightarrow$ $BH$ $\parallel$ $FC$ (từ vuông góc đến song song)

CMTT ta được: $BF$ $\parallel$ $HC$

$\Rightarrow$ Tứ giác $BFCH$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Vậy tứ giác $BFCH$ là hình bình hành 

$b)$ Tứ giác $BFCH$ là hình bình hành (cmt)

Có $M$ là trung điểm $BC$ (gt)

$\Rightarrow$ $M$ là trung điểm $HF$ (tính chất hình bình hành)

$\Rightarrow$ $3$ điểm $H, M, F$ thẳng hàng

Vậy $3$ điểm $H, M, F$ thẳng hàng (đpcm)

$c)$ Xét $\triangle$ $ABC$ có:

+ $BD$ là đường cao ứng với $AC$ (gt)

+ $CE$ là đường cao ứng với $AB$ (gt)

Mà chúng cắt nhau tại $H$ (gt)

$\Rightarrow$ $H$ là trực tâm $\triangle$ $ABC$ (định nghĩa)

$\Rightarrow$ $AH$ là đường cao ứng với $BC$ (tính chất trực tâm)

$\Rightarrow$ $AH$ $\bot$ $BC$ (tính chất đường cao)

Xét $(O)$ có $M$ là trung điểm $BC$ (gt)

$BC$ không là đường kính

$\Rightarrow$ $OM$ $\bot$ $BC$ (tính chất)

$\Rightarrow$ $OM$ $\parallel$ $AH$ (cùng $\bot$ $BC$)

Xét $\triangle$ $AFH$ có $OM$ $\parallel$ $AH$ (cmt)

$\Rightarrow$ $\dfrac{OM}{AH}=\dfrac{FO}{FA}$ (định lí Ta-lét)

Mà $\dfrac{FO}{FA}=\dfrac{1}{2}$ ($AF$ là đường kính của $(O)$)

$\Rightarrow$ $\dfrac{OM}{AH}=\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow$ $OM=\dfrac{1}{2}AH$

Vậy $OM=\dfrac{1}{2}AH$ (đpcm)

$d)$ Vì $G$ là trong tâm $\triangle$ $ABC$ (gt)

Mà $AM$ là trung tuyến ứng với $BC$ ($M$ là trung điểm $BC$)

$\Rightarrow$ $AG=\dfrac{2}{3}AM$ (tính chất trọng tâm)

Xét $\triangle$ $AHF$ có $AG=\dfrac{2}{3}AM$

Mà $M$ là trung điểm $HF$ (cmt)

$\Rightarrow$ $G$ là trọng tâm $\triangle$ $AHF$ (dấu hiệu nhận biết)

Mà $O$ là trung điểm $AF$ ($AF$ là đường kính $(O)$)

$\Rightarrow$ $3$ điểm $H, G, O$ thẳng hàng 

Vậy $3$ điểm $H, G, O$ thẳng hàng (đpcm)