$a)$ Ta có: $A=\dfrac{x+3\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}$ $(x \ge 0)$

$=\dfrac{(x+\sqrt{x})+(2\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x}+2}$

$=\dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)+2(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}+2}$

$=\dfrac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x}+2}$

$=\sqrt{x}+1$

Lại có: $x=2025-2\sqrt{2024}=(\sqrt{2024})^2-2.\sqrt{2024}1+1^2=(\sqrt{2024}-1)^2$ (thoả mãn $x \ge 0$)

$\Rightarrow$ $\sqrt{x}=\sqrt{(\sqrt{2024}-1)^2}=\sqrt{2024}-1$ ($\sqrt{2024}+1>0$)

Thay $\sqrt{x}=\sqrt{2024}-1$ vào $A=\sqrt{x}+1$ ta được:

$A=\sqrt{2024}-1+1=\sqrt{2024}$

Vậy $A=\sqrt{2024}$ với $x=2025-2\sqrt{2024}$

$b)$ Ta có: $a^2(b+c)=b^2(c+a)$

$\Leftrightarrow$ $a^2b+a^2c=b^2c+b^2a$

$\Leftrightarrow$ $(a^2b-b^2a)+(a^2c-b^2c)=0$

$\Leftrightarrow$ $ab(a-b)+c(a^2-b^2)=0$

$\Leftrightarrow$ $ab(a-b)+c(a-b)(a+b)=0$

$\Leftrightarrow$ $ab(a-b)+(ca+cb)(a-b)=0$

$\Leftrightarrow$ $(a-b)(ab+bc+ca)=0$ $(a \ne b)$

$\Rightarrow$ $ab+bc+ca=0$

$\Leftrightarrow$ $ab+ac=-bc$

$\Leftrightarrow$ $a(b+c)=-bc$

$\Leftrightarrow$ $a^2(b+c)=-abc$

Mà $a^2(b+c)=2024$

$\Rightarrow$ $-abc=2024$

$\Rightarrow$ $T=-2024$

Vậy $T=-2024$