$a)$ Vì $H$ là điểm nằm chính giữa $\mathop{AM}\limits^{\displaystyle\frown}$ (gt)

$\Rightarrow$ $\mathop{AH}\limits^{\displaystyle\frown}$ $=$ $\mathop{HM}\limits^{\displaystyle\frown}$ (tính chất)

Mà $\widehat{ABH}$ là góc nội tiếp chắn $\mathop{AH}\limits^{\displaystyle\frown}$

$\widehat{HBM}$ là góc nội tiếp chắn $\mathop{HM}\limits^{\displaystyle\frown}$

$\Rightarrow$ $\widehat{ABH}=\widehat{HBM}$ (tính chất)

hay $\widehat{ABH}=\widehat{SBH}$

$\Rightarrow$ $BH$ là tia phân giác $\widehat{ABS}$ (định nghĩa) $(1)$

Xét $(O)$ có $\widehat{AHB}$ là góc nội tiếp chắn $\mathop{AN}\limits^{\displaystyle\frown}$

Mà $AB$ là đường kính (gt)

$\Rightarrow$ $\widehat{AHB}=90^o$ (tính chất)

$\Rightarrow$ $BH$ là đường cao $\triangle$ $ABS$ (tính chất góc vuông) $(2)$

Từ $(1), (2)$ $\Rightarrow$ $\triangle$ $ABS$ cân tại $B$ (dấu hiệu nhận biết)

$\Rightarrow$ $S$ chạy trên đường tròn đường kính $BA$ (tính chất tam giác cân)

$\Rightarrow$ $S$ chạy trên $1$ đường tròn cố định

Vậy $S$ chạy trên $1$ đường tròn cố định (đpcm)

$b)$ Xét $\triangle$ $ABS$ cân tại $B$ có $BH$ là đường cao (cmt)

$\Rightarrow$ $BH$ là đường trung trực (tính chất tam giác cân)

hay $BI$ là đường trung trực

$\Rightarrow$ $S$ đối xứng với $A$ qua $BI$ (tính chất trung trực)

Mà $\widehat{IAB}=90^o$ ($I$ $\in$ tiếp tuyến $Ax$)

$\Rightarrow$ $\widehat{ISB}=90^o$ (tính chất đối xứng)

$\Rightarrow$ $IS$ là tiếp tuyến đường tròn đường kính $BA$

Vậy $IS$ là tiếp tuyến đường tròn đường kính $BA$ (đpcm)

$c)$ Kẻ $MC$ $\bot$ $AB$ tại $C$

Vì $\widehat{MIA}=90^o$ (gt)

$\Rightarrow$ $MI$ $\bot$ $IA$ tại $I$ (tính chất góc vuông)

Mà $IA$ $\bot$ $AB$ tại $A$ ($I$ $\in$ tiếp tuyến $Ax$))

$\Rightarrow$ $MI$ $\parallel$ $AB$ (từu vuông góc đến song song)

Gọi $D$ là giao $IB$ và $AM$ 

$\Rightarrow$ $\dfrac{IM}{AB}=\dfrac{MD}{AD}$ (hệ quả định lí Ta-lét)

Xét $\triangle$ $MAB$ có $MD$ là tia phân giác $\widehat{MBA}$

$\Rightarrow$ $\dfrac{MD}{AD}=\dfrac{MB}{AB}$ (tính chất tia phân giác)

$\Rightarrow$ $\dfrac{IM}{AB}=\dfrac{MB}{AB}$

$\Rightarrow$ $IM=MB$

Xét tứ giác $MIAC$ có:

+ $\widehat{MIA}=90^o$ (gt)

+ $\widehat{IAC}=90^o$ ($I$ $\in$ tiếp tuyến $Ax$)

+ $\widehat{MCA}=90^o$ ($MC$ $\bot$ $AB$ tại $C$)

$\Rightarrow$ Tứ giác $MIAC$ là hình chữ nhật (định nghĩa)

$\Rightarrow$ $IM=AC$ (tính chất hình chữ nhật)

$\Rightarrow$ $IM=MB=AC$

Gọi $IM=MB=AC=a$ $(a>0)$

Xét $(O)$ có $\widehat{AMB}$ là góc nội tiếp chắn $\mathop{AN}\limits^{\displaystyle\frown}$

Mà $AB$ là đường kính (gt)

$\Rightarrow$ $\widehat{AMB}=90^o$ (tính chất)

$\Rightarrow$ $\triangle$ $MAB$ vuông tại $M$ (tính chất góc vuông)

$\Rightarrow$ $AM^2+MB^2=AB^2$ (định lí Pithagore)

$\Rightarrow$ $AM^2+x^2=(2R)^2$

$\Leftrightarrow$ $AM^2=4R^2-x^2$

Lại có:  $MC$ là đường cao của $\triangle$ $MAB$ vuông tại $M$ ($MC$ $\bot$ $AB$ tại $C$)

$\Rightarrow$ $AM^2=AC.AB$ (hệ thức lượng)

$\Rightarrow$ $4R^2-x^2=x.2R$

$\Leftrightarrow$ $x^2+2x.R-4R^2=0$

Có: $\Delta'=R^2-(-4R^2)=5R^2>0$

$\Rightarrow$ $\sqrt{\Delta'}=\sqrt{5R^2}=R\sqrt{5}$ $(R>0)$

$\Rightarrow$ $x_1=-R-R\sqrt{5}$ (loại vì $x>0$)

$x_2=-R+R\sqrt{5}=R\sqrt{5}-R$ (thoả mãn $x>0$)

Vậy $M$ ở vị trí sao cho $MB=R\sqrt{5}-R$ thì $\widehat{MIA}=90^o$