Đáp án`+`Giải thích các bước giải:

 `1.`

Xét tứ giác `AMND` có:

`MN////AD ` (cùng `bot CD`)

`AM////DN (AB////AC; M in AB; N in CD)`

`-> AMND` là hình bình hành có `hat(MND) = 90^o`

`-> AMND` là hình chữ nhật

`2.`

Xét tứ giác `ADBK` có:

`M` là trung điểm của 2 đường chéo `AB, KD`

`-> ADBK` là hình bình hành

`-> AK = BD` Mà `BD = AC` (hình chữ nhật `ABCD`)

`-> AK = AC`

`-> ΔAKC` cân tại `A`

`3.`

Vì `AB = 2AD`

`-> 1/2 AB = AD` 

`-> AM = BM = AD = MN`

`-> MBCN` là hình vuông

`-> MC` hay `MI` là tia phân giác `hat(NMB)`

Xét `ΔMNI` và `ΔMBI` có:

`MI` là cạnh chung

`hat(NMI) = hat(BMI)`( `MI` là tia phân giác `hat(NMB)`)

`MN = MB (cmt)`

`-> ΔMNI=ΔMBI (c-g-c)`

`-> BI = NI` (2 cạnh tương ứng) `(1)`

Xét `ΔABC` có:

`BO` là đường trung tuyến (`O` là trung điểm `AC`, hình chữ nhật `ABCD`)

`CM` là đường trung tuyến (`M` là trung điểm `AB`)

`CM ∩ BO` tại `I`

`-> I` là trọng tâm `ΔABC`

`-> BI = 2/3 BO`

Có : `BO = 1/2 BD` (`O` là trung điểm `BD`)

`-> BI = 2/3 * 1/2 BD = 1/3 BD (2)`

Từ `(1),(2) -> NI =1/3 BD`