Cho ∆ABC nhọn (AB < AC) có O là trung điểm của BC. Đường tròn đường kính BC cắt hai cạnh AB và AC lần lượt tại N và M. Gọi H là giao điểm của BM và CN. Đường thẳng AH cắt BC tại K. Gọi I là trung điểm của AH.

a) Chứng minh AK vuông góc với BC và AM. AC = AN . AB.

b) Chứng minh IM là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.

$a)$ Xét $(O)$ có $\widehat{BMC}$ là góc nội tiếp chắn $\mathop{BC}\limits^{\displaystyle\frown}$

Mà $BC$ là đường kính (gt)

$\Rightarrow$ $\widehat{BMC}=90^o$ (tính chất)

$\Rightarrow$ $BM$ là đường cao $\triangle$ $ABC$ (tính chất góc vuông)

CMTT ta được: $CN$ là đường cao $\triangle$ $ABC$

Lại có: $BM$ $\cap$ $CN$ $=H$

$\Rightarrow$ $H$ là trực tâm $\triangle$ $ABC$ (định nghĩa)

$\Rightarrow$ $AH$ $\bot$ $BC$ (tính chất trực tâm)

$\Rightarrow$ $AK$ $\bot$ $BC$

Xét $\triangle$ $AMB$ và $\triangle$ $ANC$ có:

+ $\widehat{AMB}=\widehat{ANC}=90^o$ ($BM, CN$ là đường cao)

+ $\widehat{MAN}$ chung

$\Rightarrow$ $\triangle$ $AMB$ $\backsim$ $\triangle$ $ANC$ (G-G)

$\Rightarrow$ $\dfrac{AM}{AN}=\dfrac{AB}{AC}$ (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow$ $AM.AC=AN.AB$

Vậy $AK$ $\bot$ $BC$, $AM.AC=AN.AB$

$b)$ Xét $\triangle$ $AMH$ vuông tại $M$ ($BM$ là đường cao)

có $I$ là trung điểm $AH$ (gt)

$\Rightarrow$ $IM=IH$ (tính chất tam giác vuông)

$\Rightarrow$ $\triangle$ $IMH$ cân tại $I$ (định nghĩa)

$\Rightarrow$ $\widehat{IMH}=\widehat{IHN}$ (tính chất tam giác cân)

Mà $\widehat{IHN}=\widehat{BHK}$ ($2$ góc đối đỉnh)

$\Rightarrow$ $\widehat{IMH}=\widehat{BHK}$

Ta có: $\triangle$ $NHK$ vuông tại $K$ ($AK$ $\bot$ $BC$)

$\Rightarrow$ $\widehat{BHK}+\widehat{HBK}=90^o$ (tính chất tam giác vuông)

$\Rightarrow$ $\widehat{IMH}+\widehat{HBK}=90^o$ 

Lại có: $OM=OB=R$

$\Rightarrow$ $\triangle$ $OMB$ cân tại $O$ (định nghĩa)

$\Rightarrow$ $\widehat{OMH}=\widehat{HBK}$ (tính chất tam giác cân)

$\Rightarrow$ $\widehat{IMH}+\widehat{OMH}=90^o$

$\Rightarrow$ $\widehat{IMO}=90^o$

$\Rightarrow$ $IM$ là tiếp tuyến của $(O)$ (tính chất)

Vậy $IM$ là tiếp tuyến của $(O)$ (đpcm)