`F` là nguyên hàm của `f` trên `R` nên ta có : 

$F(x) = \int f(x) dx = \left \{ {{x^2 - x + C_1 \quad \text{khi} \quad \ x \geq 1 } \atop {x^3 - 2x + C_2 \quad \text{khi} \quad x < 1}} \right.$ 

Theo bài ra ta có `F(0)= 2 ⇒ 0^3 - 2.0 + C_2 = 2 ⇔ C_2 = 2`

Hàm số `F(x)` liên tục nên  $\lim_{x \to 1^+} F(x) = \lim_{x \to 1^-} F(x) $ 

`⇔ 1^2 - 1 + C_1 = 1^3 - 2.1 + 2`

`⇔C_1 = 1`

`⇒` $F(x) =  \left \{ {{x^2 - x + 1 \quad \text{khi} \quad \ x \geq 1 } \atop {x^3 - 2x + 2 \quad \text{khi} \quad x < 1}} \right.$ 

Ta có : 

`F(-1) + F(2) = (-1)^3 - 2.(-1) + 2 + 2^2 - 2 + 1 = 8`