Cho a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh:

1/(a+bc)+ 1/(b+ca)+ 1/(c+ab) >= 7/(1+abc)

Bất đẳng thức cần chứng minh: $\sum \dfrac{1+abc}{a+bc}\ge 7(*)$

Thật vậy $(*)$ tương đương với:

$\sum \left(\dfrac{1+abc}{a+bc}+1\right)\ge 10\\\Leftrightarrow \sum \dfrac{(a+1)(bc+1)}{a(a+b+c)+bc}\ge 10\\\Leftrightarrow \sum \dfrac{(a+1)(bc+1)}{(a+b)(a+c)}\ge 10(**)$

Ta lại có:

$\sum \dfrac{(a+1)(bc+1)}{(a+b)(a+c)}=\sum \dfrac{(a+b+a+c)(bc+1)}{(a+b)(a+c)}=\sum \left(\dfrac{bc+1}{a+c}+\dfrac{bc+1}{a+b}\right)=\sum \left(\dfrac{bc+1}{a+c}+\dfrac{ba+1}{a+c}\right)=\sum \dfrac{b(a+c)+2}{a+c}=\sum b + 2 \sum \dfrac{1}{a+c}= 1+2\sum \dfrac{1}{a+c}$

Theo BĐT Cauchy Schwarz:

$\sum \dfrac{1}{a+c}\ge \dfrac{9}{2(a+b+c)}=\dfrac{9}{2}\\\Rightarrow \sum \dfrac{(a+1)(bc+1)}{(a+b)(a+c)}\ge 1+\dfrac{9}{2}.2=10$

Vậy $(**)$ đúng hay BĐT cần chứng minh đúng.

Dấu "$=$" xảy ra khi: $a=b=c=\dfrac{1}{3}$