Đáp án + Giải thích các bước giải:

-a) Ta có: MA = MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Do đó, tam giác MAC cân tại M. Gọi I là trung điểm của AC.

Ta có MI ⊥ AC. Trong tam giác OAC, OI là đường trung bình nên OI // AC và OI = AC/2.

Vì MI ⊥ AC nên MI ⊥ OI. Suy ra góc OIM = 90 độ.

Xét tứ giác OIMC có góc OIM + góc OCM = 180 độ, nên OIMC là tứ giác nội tiếp.

Vậy 4 điểm O, A, M, C cùng thuộc một đường tròn.

-b) Ta có MA = MC (cmt) và OA = OC = R. Suy ra OM là trung trực của AC.

Do đó, OM ⊥ AC tại H.

Trong tam giác OAM, ta có OH.OM = OA^2 = R^2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

-c) Ta có góc ODM = góc OHD (cùng chắn cung OD).

Góc OMD = góc OHD (cùng phụ với góc ODM).

Do đó, tam giác ODM đồng dạng với tam giác OHD (g.g).

-d) Xét tam giác AMH và tam giác OMA, ta có:

Góc MAH = góc MOA (cùng phụ với góc OAM)

Góc AMH = góc OAM (cùng phụ với góc AOM)

Do đó, tam giác AMH đồng dạng với tam giác OMA (g.g).

Suy ra AH/OM = AM/OA

=> AH.OA = AM.OM

Trong tam giác AMH, ta có I là giao điểm của AD và MH.

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác AMH và đường thẳng ODI, ta có:

(AI/IM)(MD/DH)(HO/OA) = 1

(AI/IM)(MD/DH)(R^2/OM.OH) = 1

Từ câu b), ta có OH.OM = R^2, nên (AI/IM)(MD/DH) = 1

=> AI/IM = DH/MD

Áp dụng định lý Thales đảo, ta có: AI/IM = DH/MD => AD // MH

=> I là trung điểm của MH.