Giả sử cạnh góc vuông thứ nhất $>$ cạnh góc vuông thứ $2$

Gọi cạnh góc vuông thứ nhất là $a$ $(cm)$ ($a>1$)

$\Rightarrow$ Cạnh góc vuông thứ $2$ là $a-1$ $(cm)$

Mà cạnh huyền của tam giác vuông này là $5 cm$

$\Rightarrow$ Áp dụng định lí Pithagore ta có:

$\Leftrightarrow$ $a^2+(a-1)^2=5^2$

$\Leftrightarrow$ $a^2+a^2-2a+1-25=0$

$\Leftrightarrow$ $2a^2-2a-24=0$

$\Leftrightarrow$ $a^2-a-12=0$ 

$\Leftrightarrow$ $(a^2+3a)-(4a+12)=0$

$\Leftrightarrow$ $a(a+3)-4(a+3)=0$

$\Leftrightarrow$ $(a+3)(a-4)=0$

$\Leftrightarrow$ $\left[\begin{matrix} a+3=0\\ a-4=0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow$ $\left[\begin{matrix} a=-3\\ a=4\end{matrix}\right.$

Mà $a>1$ $\Rightarrow$ $a=4 cm$

$\Rightarrow$ Diện tích tam giác vuông là: $S=\dfrac{1}{2}.4.3=6$ $(cm^2)$