`\color{#80808030}{@evade}`

Đặt `x = b + c - a, y = c + a - b, z = a + b - c`

Vì `a, b, c` là độ dài ba cạnh của một tam giác nên `x > 0, y > 0, z > 0`

Suy ra:

`a = (y + z)/2`

`b = (z + x)/2`

`c = (x + y)/2`

Bất đẳng thức trở thành:

`(y + z)/(2x) + (z + x)/(2y) + (x + y)/(2z) >= 3`

hay `(y/x + z/x)/2 + (z/y + x/y)/2 + (x/z + y/z)/2 >= 3`

`=> 1/2(y/x + x/y) + 1/2(z/x + x/z) + 1/2(z/y + y/z) >= 3`

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có:

`y/x + x/y >= 2sqrt(y/x * x/y) = 2`

`z/x + x/z >= 2sqrt(z/x * x/z) = 2`

`z/y + y/z >= 2sqrt(z/y * y/z) = 2`

`=> (y/x + x/y) + (z/x + x/z) + (z/y + y/z) >= 2 + 2 + 2 = 6`

`=> 1/2(y/x + x/y) + 1/2(z/x + x/z) + 1/2(z/y + y/z) >= 3` `(`đpcm`)`