Đặt `a-b=p`

`3c^2=ab+bc+ca`

`4c^2=(c+a)(c+b)`

Gọi `d=UCLN(c+a;c+b)`

suy ra a-b `\vdots` `d`

mà `d` là số nguyên tố nên `d` `in` {1;a-b}

`TH1: d=1`

đặt  `a+c=x^2, b+c=y^2`   (`x;y` là số tự nhiên)

suy ra `a-b=(x+y)(x-y)`

vì `a-b` là số nguyên tố và `x+y>x-y`

nên `x+y=a-b; x-y=1`

suy ra `x=(a-b+1)/2` và `y=(a-b-1)/2`

suy ra `2c= ((a-b)^2-1)/4`

suy ra `8c+1=(a-b)^2` là số chính phương

`TH2:` `d=a-b`

hay `d=p`

đặt `a+c=pm; c+b=pn` suy ra `a-b=p(m-n)` suy ra `m-n=1 `

ta có `(2c)^2=p^2n(n+1)`

suy ra `n(n+1)` là scp mà `(n;n+1)=1` suy ra `n=0` hay `b+c=0` ( vô lí)

từ `2TH` ta có đpcm