Vì $\triangle$ $ABC$ vuông cân tại $A$ có $AH$ là đường cao (gt)

$\Rightarrow$ $AH$ là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)

$\Rightarrow$ $AH=HB=HC$ (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)

Xét tứ giác $MIAK$  có:

+ $\widehat{MIA}=90^o$ ($MI$ $\bot$ $AB$ tại $I$)

+ $\widehat{MKA}=90^o$ ($MK$ $\bot$ $AC$ tại $K$)

+ $\widehat{IAK}=90^o$ ($\triangle$ $ABC$ vuông cân tại $A$)

$\Rightarrow$ Tứ giác $MIAK$ là hình chữ nhật (định nghĩa)

$\Rightarrow$ $IA=MK$ (tính chất hình chữ nhật) 

Vì $\triangle$ $ABC$ vuông cân tại $A$ có $AH$ là đường cao (gt)

$\Rightarrow$ $AH$ là tia phân giác $\widehat{BAC}$ (tính chất tam giác cân)

và $\widehat{B}=\widehat{C}=45^o$ (tính chất tam giác cân)

$\Rightarrow$ $\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{BAH}=45^o$ (tính chất tam giác cân)

Xét $\triangle$ $MKC$ vuông tại $K$ ($MK$ $\bot$ $AC$ tại $K$)

có $\widehat{C}=45^o$ (cmt)

$\Rightarrow$ $\triangle$ $MKC$ vuông cân tại $K$ (dấu hiệu nhận biết)

$\Rightarrow$ $KM=KC$ (tính chất tam giác cân)

$\Rightarrow$ $AI=CK$ ($AI=MK$)

Xét $\triangle$ $AIH$ và $\triangle$ $CKH$ có:

+ $AI=CK$ (cmt)

+ $\widehat{C}=\widehat{IAH}=45^o$ (cmt)

+ $AH=CH$ (cmt)

$\Rightarrow$ $\triangle$ $AIH$ $=$ $\triangle$ $CKH$ (C-G-C)

$\Rightarrow$ $HI=HK$ và $\widehat{IHA}=\widehat{KHC}$ ($2$ cạnh và $2$ góc tương ứng)

Mà $\widehat{KHC}+\widehat{KHA}=90^o$ ($AH$ là đường cao)

$\Rightarrow$ $\widehat{IHA}+\widehat{KHA}=90^o$

$\Rightarrow$ $\widehat{IHK}=90^o$

Mà $HI=IK$ (cmt)

$\Rightarrow$ $\triangle$ $IHK$ vuông cân tại $H$ (định nghĩa)

Vậy $\triangle$ $IHK$ vuông cân tại $H$ (đpcm)