$a)$ Xét $(O)$ có $EM, EC$ là tiếp tuyến với $M, C$ là tiếp điểm (gt)

$\Rightarrow$ $EM=EC$ (tính chất tia tuyến tuyến)

CMTT ta được: $FC=FN$

$\Rightarrow$ $EM+FN=EC+FC=EF$

Vậy $EC+FC=EF$

$b)$ Gọi $H$ là giao của $AO$ và $MN$

Xét $(O)$ có $AM, AN$ là $2$ tiếp tuyến với $M, N$ là tiếp điểm (gt)

$\Rightarrow$ $AO$ $\bot$ $MN$ tại $H$ và $\triangle$ $AMO$ vuông tại $M$ (tính chất)

$\Rightarrow$ $\triangle$ $AMO$ vuông tại $M$ có $MH$ là đường cao ứng với $AO$ (tính chất)

$\Rightarrow$ $OH.OA=OM^2$ (hệ thức lượng)

hay $OH.OA=OD^2$ (vì $OM=OD=R$)

Xét $(O)$ $OK$ $\bot$ $CD$ tại $K$ (gt)

hay $OK$ $\bot$ $AD$ tại $K$ 

$\Rightarrow$ $\triangle$ $OKA$ vuông tại $K$ (tính chất)

Lại có: $OA$ $\bot$ $MN$ tại $H$ (cmt)

hay $OA$ $\bot$ $NP$ tại $H$

$\Rightarrow$ $\triangle$ $OHP$ vuông tại $H$ (tính chất)

Xét $\triangle$ $OKA$ và $\triangle$ $OHP$ có:

+ $\widehat{OKA}=\widehat{OHP}=90^o$ (vì $\triangle$ $OKA$ vuông tại $K$, $\triangle$ $OHP$ vuông tại $H$)

+ $\widehat{HOK}$ chung

$\Rightarrow$ $\triangle$ $OKA$ $\backsim$ $\triangle$ $OHP$ (G-G)

$\Rightarrow$ $\dfrac{OH}{OK}=\dfrac{OP}{OA}$ (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow$ $OH.OA=OP.OK$

Mà $OH.OA=OD^2$ (cmt)

$\Rightarrow$ $OD^2=OP.OK$ $(=OC^2)$

$\Rightarrow$ $\dfrac{OD}{OP}=\dfrac{OK}{OD}$ 

Xét $\triangle$ $ODP$ và $\triangle$ $OKD$ có:

+ $\dfrac{OD}{OP}=\dfrac{OK}{OD}$ (cmt)

+ $\widehat{DOK}$ chung

$\Rightarrow$ $\triangle$ $ODP$ $\backsim$ $\triangle$ $OKD$ (C-G-C)

$\Rightarrow$ $\widehat{ODP}=\widehat{OKD}$ ($2$ góc tương ứng)

Mà $\widehat{OKD}=90^o$ ($OK$ $\bot$ $CD$ tại $K$)

$\Rightarrow$ $\widehat{ODP}=90^o$

$\Rightarrow$ $PD$ là tiếp tuyến của $(O)$ (tính chất)

Vậy $PD$ tại tiếp tuyến của $(O)$ với $D$ là tiếp điểm (đpcm)