Gọi các điểm như trong hình vẽ.

Đặt `OA = x (0<x<10)`

Xét `Delta OAB` vuông tại `A` có:

`OA^2 + AB^2 = OB^2`

`=> AB = sqrt(OB^2 - OA^2) = sqrt(10^2 - x^2) = sqrt(100 - x^2)`

Xét `DeltaOAB` và `Delta ODC` có:

`{(AB = CD),(hat{BAO}  = hat{CDO} (=90^o)),(OA = OD):}`

`=> Delta OAB = Delta ODC (ch-cgv)`

`=> AO= OD` (2 cạnh tương ứng)

`=> AD = 2AO = 2x`

`=> S_(ABCD) = AD . AB = 2xsqrt(100 - x^2)`

Áp dụng bất đẳng thức `ab <= (a^2 + b^2)/2` ta được:

`x. sqrt(100 - x^2) <= (x^2 + 100  -x^2)/2 = 50`

`=> S_(ABCD) <= 50. 2 = 100(m^2)`

Dấu bằng xảy ra khi

`x = sqrt(100 - x^2)`

`x^2= 100 - x^2`

`x^2 = 50`

`x = sqrt(50) (TMDK)`

Vậy diện tích lớn nhất của khu vui chơi có thể xây dựng là `100m^2`