Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH cắt đoạn thẳng AC tại K, gọi HD là đường kính của (A;AH). Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt đường thẳng AC ở E.

a) CM A là trung điểm CE

b) CM BE=BH+DE và BE là tiếp tuyến của (A,AH)

$a)$ Xét $\triangle$ $ADE$ và $\triangle$ $AHC$ có:

+ $\widehat{ADE}=\widehat{AHC}=90^o$ ($ED$ là tiếp tuyến của $(A)$, $AH$ là đường cao)

+ $AD=AH$ ($=R$)

+ $\widehat{EAD}=\widehat{CAH}$ ($2$ góc đối đỉnh)

$\Rightarrow$ $\triangle$ $ADE$ $=$ $\triangle$ $AHC$ (G-C-G)

$\Rightarrow$ $AE=AC$ ($2$ cạnh tương ứng)

$\Rightarrow$ $A$ là trung điểm $CE$ (định nghĩa)

Vậy $A$ là trung điểm $CE$ (đpcm)

$b)$ Xét $\triangle$ $BEC$ có:

+ $BA$ là trung tuyến ($A$ là trung điểm $CE$)

+ $BA$ là đường cao ($\triangle$ $ABC$ vuông tại $A$)

$\Rightarrow$ $\triangle$ $BEC$ cân tại $B$ (dấu hiệu nhận biết)

$\Rightarrow$ $BE=BC$ (tính chất tam giác cân)

Vì $\triangle$ $ADE$ $=$ $\triangle$ $AHC$ (cmt)

$\Rightarrow$ $DE=HC$ ($2$ cạnh tương ứng)

Mà $HC+BH=BC$

$\Rightarrow$ $BC=BH+DE$

$\Rightarrow$ $BE=BH+DE$ ($BC=BE$)

Kẻ $AF$ $\bot$ $BE$ tại $F$

Vì $\triangle$ $BEC$ cân tại $B$ có $BA$ là đường cao (cmt)

$\Rightarrow$ $BA$ là tia phân giác $\widehat{EBC}$ (tính chất tam giác cân)

$\Rightarrow$ $\widehat{EBA}=\widehat{CBA}$ (tính chất tia phân giác)

hay $\widehat{FBA}=\widehat{HBA}$

Xét $\triangle$ $FBA$ và $\triangle$ $HBA$ có:

+ $\widehat{AFB}=\widehat{AHB}=90^o$ ($AF$ $\bot$ $BE$ tại $F$, $AH$ là đường cao)

+ $BA$ chung

+ $\widehat{FBA}=\widehat{HBA}$ (cmt)

$\Rightarrow$ $\triangle$ $FBA$ $=$ $\triangle$ $HBA$ (G-C-G)

$\Rightarrow$ $AF=AH$ ($2$ góc tương ứng)

$\Rightarrow$ $F$ $\in$ $(A)$

$\Rightarrow$ $BE$ là tiếp tuyến của $(A)$

Vậy $BE$ là tiếp tuyến của $(A)$ (đpcm)