$a)$ Vì $OD=OC=R$

$\Rightarrow$ $\triangle$ $OCD$ cân tại $O$ (định nghĩa)

Mà $OH$ là đường cao ứng với $CD$ ($CH$ $\bot$ $AB$ tại $H$)

$\Rightarrow$ $OH$ là tia phân giác $\widehat{COD}$ (tính chất tam giác cân)

$\Rightarrow$ $\widehat{COH}=\widehat{DOH}$ (tính chất tia phân giác)

hay $\widehat{COF}=\widehat{DOF}$

Xét $\triangle$ $COF$ và $\triangle$ $DOF$ có:

+ $CO=DO=R$

+ $\widehat{COF}=\widehat{DOF}$ (cmt)

+ $OF$ chung

$\Rightarrow$ $\triangle$ $COF$ $=$ $\triangle$ $DOF$ (C-G-C)

$\Rightarrow$ $\widehat{OCF}=\widehat{ODF}$ ($2$ góc tương ứng) $(1)$

Vì $MC$ là tiếp tuyến của $(O)$ với $C$ là tiếp điểm (gt)

$\Rightarrow$ $\widehat{MCO}=90^o$ (tính chất tiếp tuyến)

$\Rightarrow$ $\widehat{OCF}=90^o$ $(2)$

Từ $(1), (2)$ $\Rightarrow$ $\widehat{ODF}=90^o$

$\Rightarrow$ $DF$ là tiếp tuyến của $(O)$

Vậy $DF$ là tiếp tuyến của $(O)$ (đpcm)

$b)$ Xét $(O)$ có $MA, MC$ là $2$ tiếp tuyến với $A, C$ là tiếp điểm (gt)

$\Rightarrow$ $MO$ là tia phân giác $\widehat{AMC}$ và $MA=MC$ (tính chất tiếp tuyến)

Mà $CF=DF$ ($2$ cạnh tương ứng của $\triangle$ $COF$ $=$ $\triangle$ $DOF$)

$\Rightarrow$ $MA+DF=MC+CF=MF$

Vì $MO$ là tia phân giác $\widehat{AMC}$ (cmt)

$\Rightarrow$ $\widehat{AMO}=\dfrac{1}{2}\widehat{AMC}$ (tính chất tia phân giác)

Mà $\widehat{AMC}=60^o$ (gt)

$\Rightarrow$ $\widehat{AMO}=\dfrac{1}{2}.60^o=30^o$

Xét $\triangle$ $MAO$ vuông tại $A$ ($MA$ là tiếp tuyến)

có $OA$ là cạnh đối diện với $\widehat{AMO}=30^o$ và $MO$ là cạnh huyền

$\Rightarrow$ $MO=2AO=2R$ (tính chất tam giác vuông)

Vậy $MA+DF=MC+CF=MF$ và $MO=2R$ khi $\widehat{AMC}=60^o$