$a)$ Xét $\triangle$ $AHB$ có:

+ $M$ là trung điểm $AH$ (gt)

+ $N$ là trung điểm $BH$ (gt)

$\Rightarrow$ $MN$ là đường trung bình $\triangle$ $AHB$ (định nghĩa)

$\Rightarrow$ $MN=\dfrac{1}{2}AB$ (tính chất đường trung bình)

Mà $AB=CD$ ($ABCD$ là hình chữ nhật)

$\Rightarrow$ $MN=\dfrac{1}{2}CD$

Vậy $MN=\dfrac{1}{2}CD$ (đpcm)

$b)$ Vì $MN$ là đường trung bình $\triangle$ $AHB$ (cmt)

$\Rightarrow$ $MN$ $\parallel$ $AB$ (tính chất đường trung bình)

Mà $AB$ $\parallel$ CD$ ($ABCD$ là hình chữ nhật)

$MN$ $\parallel$ $CD$

hay $MN$ $\parallel$ $PC$ ($P$ $\in$ $CD$)

Vì $MN=\dfrac{1}{2}CD$ (cmt)

Mà $PC=\dfrac{1}{2}CD$ ($P$ là trung điểm $CD$)

$\Rightarrow$ $MN=PC$

Mà $MN$ $\parallel$ $PC$ (cmt)

$\Rightarrow$ Tứ giác $MNCP$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Mà $2$ đường chéo $MC, NP$ cắt nhau tại $J$ 

$\Rightarrow$ $J$ là trung điểm $NP$ (tính chất hình bình hành)

Xét $\triangle$ $PBN$ có:

+ $J$ là trung điểm $NP$ (cmt)

+ $I$ là trung điểm $PB$ (gt)

$\Rightarrow$ $IJ$ là đường trung bình $\triangle$ $PBN$ (định nghĩa)

$\Rightarrow$ $IJ$ $\parallel$ $BN$ (tính chất đường trung bình)

hay $IJ$ $\parallel$ $HN$ 

Vậy $IJ$ $\parallel$ $HN$ (đpcm)

$c)$ Vì $MN$ $\parallel$ $AB$ (cmt)

Mà $AB$ $\bot$ $BC$ ($ABCD$ là hình chữ nhật)

$\Rightarrow$ $MN$ $\bot$ $BC$ (tính chất)

Xét $\triangle$ $BMC$ có:

+ $MN$ là đường cao ứng với $BC$ ($MN$ $\bot$ $BC$)

+ $BH$ là đường cao ứng với $MC$ ($BH$ $\bot$ $AC$)

Mà chúng cắt nhau tại $N$

$\Rightarrow$ $N$ là trực tâm $\triangle$ $BMC$ (định nghĩa)

$\Rightarrow$ $CN$ $\bot$ $BM$ (tính chất trực tâm)

Mà $CN$ $\parallel$ $MP$ (tứ giác $MNCP$ là hình bình hành)

$\Rightarrow$ $PM$ $\bot$ $BM$ tại $M$ (tính chất)

Vậy $PM$ $\bot$ $BM$ tại $M$ (đpcm)