một sợi dây có chiều dài 28m được cắt thành hai đoạn để làm thành một hình vuông và một hình tròn. Tính chiều dài ( theo đơn vị mét ) của đoạn dây làm thành hình vuông được cắt ra sao cho tổng diện tích của hình vuông và hình tròn là nhỏ nhất ?

Đáp án:

 $\approx15,68$

Giải thích các bước giải:

 Gọi độ dài sợi dây làm hình tròn là $x$ (m)

Độ dài sợi dây làm hình vuông là $28-x$ (m)

Bán kính hình tròn là $\dfrac x{2\pi}$ (m)

Cạnh hình vuông là $\dfrac{28-x}4$ (m)

Diện tích hình tròn là $\pi\left({\dfrac x{2\pi}}\right)^2=\dfrac{x^2}{4\pi}$

Diện tích hình vuông là $\dfrac{(28-x)^2}{16}$

$\Rightarrow S=f(x)=\dfrac{x^2}{4\pi}+\dfrac{(28-x)^2}{16}$

$=\dfrac{(4+\pi)x^2-56\pi x+784\pi}{16\pi}$

$f'(x)=\dfrac{2(4+\pi)x-56\pi}{16\pi}=0$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{56\pi}{8+2\pi}$

Xét dấu của $f'(x)$:

_________________|__________________

          $-$          $\dfrac{56\pi}{8+2\pi}$           $+$

Vậy $\min f(x)=f\left({\dfrac{56\pi}{8+2\pi}}\right)$

Chiều dài đoạn dây làm thành hình vuông khi đó là

$28-\dfrac{56\pi}{8+2\pi}=\dfrac{224}{8+2\pi}\approx15,68$ (m).