Giải bài toán: a) Chứng minh tam giác ABH = tam giác ACK:

Ta có tam giác ABCABC là tam giác cân tại AA, nghĩa là AB=ACAB = AC. Cùng với đó, ta có các đoạn vuông góc:

• BH⊥ACBH \perp AC
• CK⊥ABCK \perp AB

Khi đó, tam giác ABHABH và tam giác ACKACK có những yếu tố sau:

1. AB=ACAB = AC (do tam giác cân tại AA)
2. Góc ∠ABH=∠ACK=90∘\angle ABH = \angle ACK = 90^\circ (do BH⊥ACBH \perp AC và CK⊥ABCK \perp AB)
3. AH=AKAH = AK (cả hai đều là đoạn vuông góc hạ từ điểm AA xuống các cạnh của tam giác ABCABC, nên AH=AKAH = AK).

Do đó, theo dấu hiệu hai cạnh và một góc (SAS) của tam giác vuông, ta có:

△ABH=△ACK\triangle ABH = \triangle ACK b) Chứng minh OK = OH:

Vì tam giác ABH=△ACKABH = \triangle ACK, suy ra các tam giác này đồng dạng và có các cạnh tương ứng bằng nhau. Do OO là giao điểm của hai đoạn vuông góc BHBH và CKCK, nên OO chính là trực tâm của tam giác ABCABC.

Do đó, OO cách đều các đỉnh của tam giác ABCABC, đồng thời OO cũng nằm trên hai đường vuông góc BHBH và CKCK. Vì vậy, ta có:

OK=OHOK = OH c) Chứng minh ba điểm A, O, I thẳng hàng:

Trên nửa mặt phẳng bờ BCBC không chứa điểm AA, ta lấy điểm II sao cho IB=ICIB = IC. Ta cần chứng minh ba điểm AA, OO, II thẳng hàng.

Để chứng minh điều này, ta sử dụng tính chất của trực tâm trong tam giác vuông:

• Vì OO là trực tâm của tam giác ABCABC, nên OO là điểm đồng quy của ba đường cao trong tam giác ABCABC.
• II là điểm đối xứng của AA qua đường phân giác BCBC, nên II là điểm đối xứng của AA qua đường BCBC.

Vì vậy, ba điểm AA, OO, và II sẽ thẳng hàng theo tính chất của trực tâm và điểm đối xứng.

Kết luận: Ba điểm AA, OO, và II thẳng hàng.