$f(x+y^2)=f(x)+|yf(y)|, \forall x,y \in\mathbb{R}(1)$

Nhận xét 1: $f(x)=ax+f(0), \forall x\in\mathbb{R}$

Kí hiệu $P(x,y)$ là phép thế $(x,y)$ bởi $(u,v)$ thoả mãn $(1)$

$P(0,x): f(x^2)=f(0)+|xf(x)|\Rightarrow |xf(x)|=f(x^2)-f(0)$

Khi đó thế lại $(1)$ ta được:

$$f(x+y^2)=f(x)+f(y^2)-f(0)$$

$\Leftrightarrow f(x+y^2)-f(0)=f(y^2)-f(0)+f(x)-f(0)(*)$

Đặt $g(x)=f(x)-f(0) \Rightarrow g(x^2)=f(x^2)-f(o)=|xf(x)|$

$\Rightarrow g(x)\ge 0,\forall x\ge 0$ 

Từ $(*)\Rightarrow g(x+y^2)=g(y^2)+g(x)(2)$

Kí hiệu $Q(x,y)$ là phép thế $(x,y)$ bởi $(u',v')$ thoả mãn $(2)$

$Q(-x^2,x): g(0)=g(x^2)+g(-x^2)$ mà $g(0)=f(0)-f(0)=0$

$\Rightarrow g(x^2)=-g(-x^2)\Rightarrow g$ lẻ.

Ta có: $g(x+y^2)=g(x)+g(y^2)$

$\Rightarrow g(x+y)=g(x)+g(y),\forall x\in\mathbb{R},y\ge 0$

Mà $g$ lẻ nên $g(x+y)=g(x)+g(y), \forall x\in\mathbb{R},y<0$

$\Rightarrow g(x+y)=g(x)+g(y), \forall x,y\in\mathbb{R}$

Kết hợp với $g(x)\ge 0\forall x\ge 0$ nên $g(x)=ax$ ($a$ là hằng số)

$\Rightarrow f(x)=ax+f(0),\forall x\in\mathbb{R}$

Nhận xét 2: $f(0)=0$

$P(0,-1): f(1)=f(0)+|f(-1)|$

Lại có: Từ $g(x^2)=-g(x^2)\Rightarrow f(x^2)+f(-x^2)=2f(0)(3)$

Thay $x=1$ vào $(3)\Rightarrow f(1)+f(-1)=2f(0)$

$\bullet$ $f(-1)\ge 0\Rightarrow f(1)=f(0)+f(-1)$ kết hợp $f(1)+f(-1)=2f(0)$

$\Rightarrow f(1)=\dfrac{3f(0)}{2},f(-1)=\dfrac{f(0)}{2}\Rightarrow f(0)\ge 0\Rightarrow f(1)\ge 0$

$P(0,1): f(1)=f(0)+|f(1)=f(0)+f(1)\Rightarrow f(0)=0$

$\bullet$ $f(-1)<0\Rightarrow f(1)=f(0)-f(-1)\Rightarrow f(0)=2f(0)$

$\Leftrightarrow f(0)=0$

Nhận xét 3: $f(x)=ax, \forall x\in\mathbb{R},a\ge 0$

Từ $f(0)=0\Rightarrow f(x)=ax, \forall x\in\mathbb{R}$

Thay vào $(1)\Rightarrow a(x+y^2)=ax+|a|y^2$

Cho $x=0,y\to +\infty \Rightarrow a\ge 0$

$\Rightarrow f(x)=ax,\forall x\in\mathbb{R},a\ge 0$

Kết luận: $f(x)=ax, \forall x\in\mathbb{R},a\ge 0$