nếu `y<0` suy ra `20y+1<0` mà `(x^2-y^2)^2>=0` nên `y` $\geq$ `0`

+) Trường hợp 1: `x<y`

Xét `y` $\in$ `{0;1;2;3;4;5}` 

suy ra các nghiệm `(x;y)` là `(1;0);(-1;0);(5;4);(-5;4)`

Xét `y` $\geq$ `6`

vì `y > x` nên có 2 TH

TH1: `y^2>x^2`

suy ra `(y-1)^2` $\geq$ `x^2`

Ta có `(x^2-y^2)^2=(y^2-x^2)^2` $\geq$ `[y^2-(y-1)^2]^2 =4y^2-4y+1`

Xét `4y^2-4y+1-20y-1`

`=4y^2-24y`

`=4y(y-6)`

vì `y` $\geq$ `6` nên `4y(y-6)` $\geq$ `0`

nên `4y^2-4y+1` $\geq$  `20y+1`

Nên do đó `(x^2-y^2)^2` $\geq$  `20y+1`

dấu bằng xảy ra khi `y=6` lúc đó `x=5` hoặc `x=-5`

TH2: `x^2>y^2`

suy ra `x^2` $\geq$ `(y+1)^2`

suy ra `(x^2-y^2)^2` $\geq$  `[(y+1)^2 -y^2] = (2y+1)^2`

xét `(2y+1)^2-20y-1=4y(y-4) >0` ( vì `y` $\geq$ `6`)

vậy ko có `x; y` thoả mãn

+)Trường hợp 2:  `x>y>0`

suy ra `x` $\geq$ `y+1`

-Xét `x=y+1`: Thay vào phương trình suy ra

`y=0 <=> x`  $\in$ `{1;-1}`

`y=4 <=> x` $\in$ `{5;-5}`

-Xét `x` $\geq$ `y+2 >0`

suy ra `(x^2-y^2)^2` $\geq$  `[(y+2)^2 -y^2]^2` `=(4y+4)^2` `=16y^2+32y+16 > 20y+1`

nên suy ra không tồn tại nghiệm `x` $\geq$ `2+y`

Vậy có các nghiệm  `(x;y)` là `(1;0);(-1;0);(5;4);(-5;4);(5;6);(-5;6)`