Đk : `x^2 + y^2 > 0 ; x ; y in NN`

Dễ thấy nếu `y = 0 => 1 = 0(L)`

`=> x ; y in NN`*

pt trở thành : `x = root(y)(y)`

Bài toán trở thành : tìm tất cả `y in NN` tm `root(y)(y) in NN`

`+) y = 1 => tm`

`+) y >= 2`.Ta sẽ chứng minh `root(y)(y) in I AA y in NN`*

giả sử `root(y)(y) in QQ` , khi đó , `exists (a ; b) in NN` đồng thời tm `(a ; b) = 1` và:

`root(y)(y) = a/b <=> y = (a^y)/(b^y)`

`<=> yb^y = a^y`

Tới đây ta xét `2TH`:

`TH1 : y in P => a^y vdots y => a vdots y => a = ky(k in NN)`

`=> yb^y = (ky)^y = k^y y^y => b^y = k^y y^(y - 1)`

`=> b^y vdots y^(y - 1) => b^(y - 1 + 1) vdots y^(y - 1) = b^(y - 1) . b vdots y^(y - 1)`

`=> b^(y - 1) vdots y^(y - 1) => b vdots y`

Mà `(a;b)=1=> L`

`TH2 : y notin P => y = prod_(i = 1)^n k_i^(t_i)` với `k_i in P`

Tương tự như trên,ta cũng sẽ chứng minh được `(a;b) ne 1`,trái với gt bằng cách chỉ ra `a^y` chia hết cho các thừa số nguyên tố của `y` và chỉ ra `b vdots y`

`=> đpcm`

`+) y = 1 => x = 1`

Vậy : `(x ; y) = (1 ; 1)`