$a)$ Xét tứ giá $EMHN$ có:

+ $\widehat{MHN}=90^o$ ($AH$ là đường cao, $H$ $\in$ $BC$, $M$ $\in$ $AH$, $N$ $\in$ $BC$)

+ $\widehat{EMH}=90^o$ ($EM$ $\bot$ $AH$ tại $M$)

+ $\widehat{ENH}=90^o$ ($EN$ $\bot$ $BC$ tại $N$, $H$ $\in$ $BC$)

$\Rightarrow$ Tứ giác $EMHN$ là hình chữ nhật (định nghĩa)

Vậy Tứ giác $EMHN$ là hình chữ nhật (đpcm)

$b)$ Tứ giác $EMHN$ là hình vuông khi 

$HM=HN$ (vì tứ giác $EMHN$ là hình chữ nhật)

$\Leftrightarrow$ $\triangle$ $HMN$ cân tại $H$ (định nghĩa)

Mà $HE$ là tia phân giác $\widehat{MHN}$ (vì tứ giác $EMHN$ là hình vuông)

$\Rightarrow$ $HE$ là đường trung tuyến ứng với $AC$ (tính chất)

$\Rightarrow$ $E$ là trung điểm $AC$ (tính chất)

Vậy khi $E$ là trung điểm $AC$ thì tứ giác $EMHN$ là hình vuông