Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Vẽ đường cao AH (H ϵ BC). Lấy điểm D đối xứng với B qua H. Chứng minh ∆ABC đồng dạng ∆HBA. Qua C dựng đường thẳng vuông góc với tia AD cắt AD tại E. Chứng minh AH.CD = CE.AD. Chứng minh ∆HDE đồng dạng ∆ADC. Cho AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính diện tích tam giác DEC.

a) Xét ∆ABC và ∆HBA có: 

∠ABC chung

∠BAC=∠BHA( =$90^{o}$ )

⇒∆ABC ∽ ∆HBA (g.g)

b) Xét ΔAHD và ΔCED có:

∠AHD=∠CED(=$90^{o}$ )

∠HDA=∠CDE (đối đỉnh)

⇒ΔAHD ~ ΔCED (g-g)

⇒$\frac{AH}{EC}$ = $\frac{AD}{CD}$  ⇔AH.CD = CE.AD

c) Vì ΔAHD ~ ΔCED (cmt)

⇒$\frac{AD}{CD}$ = $\frac{HD}{ED}$ 

Xét ΔHDE và ΔADC có:

∠HDE= ∠CDA (đối đỉnh)

$\frac{AD}{CD}$ = $\frac{HD}{ED}$  (cmt)

⇒ΔHDE ~ ΔADC (c-g-c)

d) Xét ΔABD có: AH vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

⇒ΔABD cân tại A ⇒AB=AD (4)

⇒ AH là p/g ∠BAH

∠BAH=∠DAH (2)

Từ (1) và (2), suy ra: ∠BAH=∠ECD

Xét ΔABC và ΔEDC có:

∠BAH=∠ECD (cmt)

∠BAC∠CED (=$90^{o}$ )

⇒ΔABC ~ ΔEDC (g-g)

⇒$\frac{AB}{AC}$ = $\frac{ED}{EC}$=$\frac{6}{8}$ =$\frac{3}{4}$ 

⇒$\frac{S_{ABC}}{S_{EDC}}$ = $\frac{9}{16}$ (3)

Có: $S_{ABC}$ = $\frac{AB.AC}{2}$ =$\frac{6.8}{2}$ =$24 cm^{2}$

Từ (3) ⇒$\frac{24}{S_{EDC}}$ = $\frac{9}{16}$ 

⇒$S_{EDC}$ = $\frac{128}{3}$ $cm^{2}$