$a)$ Vì $MA$ là tiếp tuyến của $(O)$ với $A$ là tiếp điểm (gt)

$\Rightarrow$ $\triangle$ $MAO$ vuông tại $A$ (tính chất)

$\Rightarrow$ $3$ điểm $M, A, O$ thuộc đường tròn đường kính $MO$ (tính chất)

CMTT ta được: $3$ điểm $M, B, O$ thuộc đường tròn đường kính $MO$

Xét $(O)$ có $I$ là trung điểm dây $PQ$ (gt)

$PQ$ không phải là đường kính

$\Rightarrow$ $OI$ $\bot$ $PQ$ tại $I$ (tính chất)

hay $OI$ $\bot$ $MQ$ tại $I$

$\Rightarrow$ $\triangle$ $MIO$ vuông tại $I$ (tính chất)

$\Rightarrow$ $3$ điểm $M, I, O$ thuộc đường tròn đường kính $MO$ (tính chất)

$\Rightarrow$ $5$ điểm $M, A, B, I, O$ cùng thuộc một đường tròn 

Vậy $5$ điểm $M, A, B, I, O$ cùng thuộc một đường tròn (đpcm)

$b)$ Xét $(O)$ có $\widehat{AOB}$ là góc ở tâm chắn $\mathop{AB}\limits^{\displaystyle\frown}$

$\widehat{AEB}$ là góc nội tiếp chắn $\mathop{AB}\limits^{\displaystyle\frown}$

$\Rightarrow$ $\widehat{AEB}=\dfrac{1}{2}\widehat{AOB}$ (tính chất)

Xét $(O)$ có $MA, MB$ là $2$ tiếp tuyến với $AB$ là tiếp điểm (gt)

$\Rightarrow$ $OM$ là tia phân giác $\widehat{AOB}$ (tính chất)

$\Rightarrow$ $\widehat{BOM}=\dfrac{1}{2}\widehat{AOB}$ (tính chất)

$\Rightarrow$ $\widehat{BOM}=\widehat{AEB}$ ($=\dfrac{1}{2}\widehat{AOB}$)

Vậy $\widehat{BOM}=\widehat{AEB}$ (đpcm)