Cách 1:

Gọi `M(m; n; p) in (Oxy)`

`=>` `M(m; n; 0)`

Ta có:

`{(vec(MA)=(3-m;-n;-1)=>MA^2=m^2-6m+n^2+10),(vec(MB)=(-1-m; 2-n; 3)=>MB^2=m^2+2m+n^2-4n+8),( vec(MC)=(1-m; 4-n;1)=>MC^2=m^2-2m+n^2-8n+18):}`

`=>` `MA^2+MB^2+MC^2=3m^2-6m+3n^2-12n+36`

Đặt `{(f(m)=3m^2-6m=>f^'(m)=6m-6),(f(n)=3n^2-12n=>f^'(n)=6n-12):}`

Với `{( f^'(m)=0=> m=1),(f^'(n)=0=>n=2):}`

`=>` `M(1;2;0)`

`=>` `2m-n+2024p=2*1-2+2024*0=0`

`=>` Đúng

Cách 2:

Xét điểm `I` thỏa mãn: `vec(IA)+vec(IB)+vec(IC)=0`

`=>` `I(1;2;1)`

Khi đó: `MA^2+MB^2+MC^2`

`=(MI+IA)^2+(MI+IB)^2+(MI+IC)^2`

`=3MI^2+2vec(MI)*(underbrace{vec(IA)+vec(IB)+vec(IC)}_{0})+IA^2+IB^2+IC^2`

`=3MI^2+IA^2+IB^2+IC^2`

`=>` `(MA^2+MB^2+MC^2)_("min")<=>M` là hình chiếu của `I` lên `(Oxy)`

`=>` `M(1;2;0)`

`=>` `2m-n+2024p=2*1-2+2024*0=0`

`=>` Đúng